A.9 对流通量 Jacobian 矩阵

A.9 对流通量 Jacobian 矩阵

对流通量 Jacobian 表示对流通量对守恒变量的梯度，即

$$ \bar{A}_{c}=\frac{\partial\vec{F}_{c}}{\partial\vec{W}},\tag{A.65} $$

其中，$ \vec{F}_{c} $ 由式（2.21）给出。

二维形式

二维对流通量 Jacobian 矩阵为 $ [24] $：

$$ \bar{A}_{c}=\begin{bmatrix}{{{-V_{t}}}}&{{{n_{x}}}}&{{{n_y}}}&{{{0}}} \\{{{n_{x}\phi-u V}}}&{{{V-V_{t}-a_{3}n_{x}u}}}&{{{n_yu-a_{2}n_{x} v}}}&{{{a_{2}n_{x}}}} \\{{{n_y\phi- v V}}}&{{{n_{x} v-a_{2}n_yu}}}&{{{V-V_{t}-a_{3}n_y v}}}&{{{a_{2}n_y}}} \\{{{V(\phi-a_{1})}}}&{{{n_{x}a_{1}-a_{2}u V}}}&{{{n_ya_{1}-a_{2} v V}}}&{{{\gamma V-V_{t}}}}\end{bmatrix},\tag{A.66} $$

其中，

$$ \begin{aligned}a_{1}&=\gamma E-\phi,\\a_{2}&=\gamma-1,\\a_{3}&=\gamma-2,\\V&=n_{x}u+n_y v,\\\phi&=\tfrac{1}{2}(\gamma-1)\left(u^{2}+ v^{2}\right)\end{aligned}\tag{A.67} $$

$ n_{x} $ 和 $ n_y $ 为单位法向矢量 $ \vec{n} $ 的笛卡尔分量，见图2.1；$ \gamma $ 为比热比，V 为逆变速度。对于静止网格，控制体面的逆变速度 $ V_{t} $ 应设为零，见式（A.38）。

三维形式

三维对流通量 Jacobian 的表达式为 $ [24] $

$$ \bar A_c=\begin{bmatrix}-V_t&n_x&n_y&n_z&0\\n_x\phi-uV&V-V_t-a_3n_xu&n_yu-a_2n_xv&n_zu-a_2n_xw&a_2n_x\\n_y\phi-vV&n_xv-a_2n_yu&V-V_t-a_3n_yv&n_zv-a_2n_yw&a_2n_y\\n_z\phi-wV&n_xw-a_2n_zu&n_yw-a_2n_zv&V-V_t-a_3n_zw&a_2n_z\\V(\phi-a_1)&n_xa_1-a_2uV&n_ya_1-a_2vV&n_za_1-a_2wV&\gamma V-V_t\end{bmatrix}.\tag{A.68} $$

采用以下简记：

$$ \begin{aligned}a_{1}&=\gamma E-\phi,\\a_{2}&=\gamma-1,\\a_{3}&=\gamma-2,\\V&=n_{x}u+n_y v+n_{z}w,\\\phi&=\tfrac{1}{2}(\gamma-1)\left(u^{2}+ v^{2}+w^{2}\right).\end{aligned}\tag{A.69} $$

式（A.68）及（A.69）中，$ n_{x} $、$ n_{y} $、$ n_{z} $ 为单位法向矢量 $ \vec{n} $ 的笛卡尔分量，见图2.1。对于静止网格，应令 $ V_{t}=0 $。