7.1 湍流基本方程

第 7 章 湍流建模

湍流与层流相比，最突出的特征是流体分子沿复杂而不规则的路径作混沌运动。强烈的混沌运动使流体各层之间发生剧烈混合。由于分子之间以及分子与固体壁面之间的动量和能量交换增强，在相同条件下，湍流的壁面摩擦和传热均高于层流。

尽管流动变量的混沌脉动具有确定性，湍流模拟仍然是一个重大难题。即使利用现代超级计算机，直接求解非定常 Navier–Stokes 方程（2.19）来模拟湍流，即直接数值模拟（DNS）$ [1-16] $，也只能用于雷诺数（Re）约为 $ 10^{4}-10^{5} $、几何和流动较为简单的问题。DNS 难以得到更广泛的应用，原因在于：满足空间分辨率要求所需的网格点数按 $ Re^{9/4} $ 增长，而 CPU 时间按 $ Re^{3} $ 增长。因此，我们必须以近似方式计及湍流的影响。为此，人们已经发展出多种湍流模型，相关研究仍在继续。湍流模型主要有以下五类：

• 代数模型；

• 单方程模型；

• 多方程模型；

• 二阶封闭模型（Reynolds 应力模型）；

• 大涡模拟（LES）。

前三类模型属于所谓的一阶封闭模型，主要以 Boussinesq 的涡黏性假设 $ [17, 18] $ 为基础；对于某些应用，也采用非线性涡黏性形式。图 7.1 按复杂程度由高到低排列，概括了各类湍流模型。

应当认识到，没有任何一种湍流模型能够可靠地预测所有类型的湍流。每种模型都有其优势和局限。例如，某个模型在附着边界层中表现很好，却可能完全无法处理分离流动。因此，始终需要判断模型是否包含所研究流动的全部重要特征。另一个需要考虑的问题是计算成本与具体应用所要求的精度之间的关系。这意味着，在许多情况下，计算成本较低的湍流模型可以用与复杂模型相同的精度预测某些整体量。

下面首先介绍对控制方程作时间平均和质量加权平均后得到的基本湍流方程，随后介绍 Boussinesq 方法和非线性涡黏性方法，再简要讨论作为代数及微分 Reynolds 应力模型基础的 Reynolds 应力输运方程。7.2 节介绍几种应用广泛的单方程和双方程一阶封闭模型。最后，由于 LES 及相关方法在工程中的应用日益增多，我们将对其作较为详细的讨论。

7.1 湍流基本方程

首先，将控制方程（2.19）改写成微分形式（见 A.1 节），因为湍流建模文献经常采用这种形式，而且它使记号更加紧凑清晰。不过，我们也将给出采用积分形式的湍流方程示例。

对于可压缩 Newton 流体，在没有源项时，Navier–Stokes 方程采用与坐标系无关的形式可写为

$$ \begin{aligned}\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho v_{i})&=0,\\\frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i})+\frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{j} v_{i})&=-\frac{\partial p}{\partial x_{i}}+\frac{\partial\tau_{ij}}{\partial x_{j}},\\\frac{\partial}{\partial t}(\rho E)+\frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{j}H)&=\frac{\partial}{\partial x_{j}}( v_{i}\tau_{ij})+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(k\frac{\partial T}{\partial x_{j}}\right).\end{aligned}\tag{7.1} $$

其中，$ v_{i} $ 表示速度分量 $ (\vec{v}=[ v_{1}, v_{2}, v_{3}]^{\mathrm{T}}) $，$ x_{i} $ 则表示相应的坐标方向。紧凑张量记号的说明见 A.13 节。

式（7.1）中黏性应力张量 $ \tau_{ij} $ 的各分量定义为

$$ \tau_{i j}=2\mu S_{i j}+\lambda\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{k}}\delta_{i j}=2\mu S_{i j}-\left(\frac{2\mu}{3}\right)\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{k}}\delta_{i j},\tag{7.2} $$

这里使用了 Stokes 假设（式（2.17））。在笛卡尔坐标系中，式（7.2）等价于式（2.15）。式（7.2）的第二项，即 $ \partial v_{k}/\partial x_{k} $，对应于速度散度，在不可压缩流动中为零。应变率张量的分量为

$$ S_{i j}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial v_{j}}{\partial x_{i}}\right).\tag{7.3} $$

与此相关，旋转率张量（速度梯度张量的反对称部分）的各分量定义为

$$ \Omega_{i j}=\frac{1}{2}\left(\partial v_{i}\partial x_{j}-\frac{\partial v_{j}}{\partial x_{i}}\right).\tag{7.4} $$

校注：原书第一项写成 $\partial v_i\partial x_j$，缺少分式。按反对称速度梯度的定义，应为 $\partial v_i/\partial x_j$；译文保留原式。

式（7.1）中的总能量 E 和总焓 H 可直接由下式得到：

$$ E=e+\frac{1}{2} v_{i} v_{i},\qquad H=h+\frac{1}{2} v_{i} v_{i}\tag{7.5} $$

在笛卡尔坐标系中，这两个关系分别对应于式（2.6）和式（2.12）。

对于不可压缩流动，式（7.1）可以简化为

$$ \begin{aligned}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{i}}&=0,\\\frac{\partial v_{i}}{\partial t}+ v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}&=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{i}}+\nu\nabla^{2} v_{i},\\\frac{\partial T}{\partial t}+ v_{j}\frac{\partial T}{\partial x_{j}}&=k\nabla^{2}T\end{aligned}\tag{7.6} $$

其中，$ \nu=\mu/\rho $ 为运动黏度，$ \nabla^{2} $ 表示 Laplace 算子。在不存在浮力效应时，温度 T 的方程与质量守恒方程及动量方程解耦。

7.1.1 Reynolds 平均

Reynolds 于 1895 年首次提出近似处理湍流的方法。该方法将流动变量分解为平均量和脉动量，然后求解控制方程（7.1）中的平均量，这些量对工程应用最为重要。首先考虑不可压缩流动，将式（7.1）中的速度分量和压力替换为 $ [19] $

$$ v_{i}=\bar{ v}_{i}+ v_{i}^{\prime},\qquad p=\bar{p}+p^{\prime},\tag{7.7} $$

其中，上横线表示平均量，撇号表示湍流脉动量。平均量由平均过程得到。Reynolds 平均有三种不同形式：

1. 时间平均——适用于平稳湍流（统计定常湍流）。

$$ \overline{ v}_{i}=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T} v_{i}\mathrm{d}t.\tag{7.8} $$

因此，平均值 $ \overline{ v}_{i} $ 不随时间变化，只随空间位置变化，示意图见图 7.2。在实际应用中，$ T \rightarrow \infty $ 意味着时间区间 T 应远大于湍流脉动的典型时间尺度。

2. 空间平均——适用于均匀湍流。

$$ \bar{ v}_{i}=\lim_{\Omega\rightarrow\infty}\frac{1}{\Omega}\int_{\Omega} v_{i}\mathrm{d}\Omega\tag{7.9} $$

其中，$ \Omega $ 为控制体积。这种情况下，$ \bar{ v}_{i} $ 在空间上均匀，但可以随时间变化。

3. 集合平均——适用于一般湍流。

$$ \overline{ v}_{i}=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{m=1}^{N} v_{i}.\tag{7.10} $$

此时，平均值 $ \bar{ v}_{i} $ 仍是时间和空间坐标的函数。对于上述三种方法，脉动部分的平均值均为零，即 $ \bar{ v}_{i}^{\prime}=0 $。不过，很容易看出 $ \bar{ v}_{i}^{\prime}\bar{ v}_{i}^{\prime}\neq0 $。若两个湍流速度分量彼此相关，则对 $ \bar{ v}_{i}^{\prime}\bar{ v}_{j}^{\prime} $ 也成立。

如果湍流同时具有平稳性和均匀性，那么上述三种平均形式是等价的。这称为遍历性假设。

7.1.2 Favre（质量加权）平均

当密度不为常数时，宜对式（7.1）中的某些量采用密度（质量）加权分解，即 Favre 分解 $ [20, 21] $，以替代 Reynolds 平均。否则，由于出现包含密度脉动的额外关联项，平均后的控制方程会复杂得多。最方便的做法是对密度和压力作 Reynolds 平均，对速度、内能、焓和温度等其他变量作 Favre 平均。Favre 平均量，例如速度分量，由关系 $ [20, 21] $ 得到。

$$ \tilde{ v}_{i}=\frac{1}{\overline{\rho}}\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}\rho v_{i}\mathrm{d}t,\tag{7.11} $$

其中，$ \overline{\rho} $ 表示 Reynolds 平均密度。因此，Favre 分解为

$$ v_{i}=\tilde{ v}_{i}+ v_{i}^{\prime\prime},\tag{7.12} $$

其中，$ \tilde{ v}_{i} $ 表示平均量，$ v_{i}^{\prime\prime} $ 表示速度 $ v_{i} $ 的脉动部分。脉动部分的平均值同样为零，即 $ \tilde{ v}_{i}^{\prime\prime}=0 $。此外，如果两个脉动量彼此相关，则其乘积的平均值不为零。因此，例如有 $ \widetilde{ v_{i}^{\prime\prime} v_{i}^{\prime\prime}}\neq0 $，而一般情况下有 $ \widetilde{ v_{i}^{\prime\prime} v_{j}^{\prime\prime}}\neq0 $。

对于混合采用 Favre 平均和 Reynolds 平均的情况，可以推导出以下关系：

$$ \overline{\rho v_{i}}=\overline{\rho}\widetilde{ v_{i}},\quad\overline{\rho v_{i}^{\prime\prime}}=0,\quad\text{但}\overline{ v_{i}^{\prime\prime}}\neq0.\tag{7.13} $$

后续各节将使用这些关系。

7.1.3 Reynolds 平均 Navier–Stokes 方程

对不可压缩 Navier–Stokes 方程（7.6）采用式（7.8）的时间平均或式（7.10）的集合平均，得到以下质量和动量守恒关系：

$$ \begin{aligned}\frac{\partial\overline{ v}_{i}}{\partial x_{i}}&=0,\\\rho\frac{\partial\overline{ v}_{i}}{\partial t}+\rho\overline{ v}_{j}\frac{\partial\overline{ v}_{i}}{\partial x_{j}}&=-\frac{\partial\overline{p}}{\partial x_{i}}+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\overline{\tau}_{ij}-\rho\overline{ v_{i}^{\prime} v_{j}^{\prime}}\right).\end{aligned}\tag{7.14} $$

这些方程称为 Reynolds 平均 Navier–Stokes 方程（RANS）。式（7.14）在形式上与 Navier–Stokes 方程（7.6）相同，只是多了以下附加项：

$$ \tau_{i j}^{R}=-\rho\;\overline{{ v_{i}^{\prime} v_{j}^{\prime}}}=-\rho\left(\overline{{ v_{i} v_{j}}}-\overline{{ v}}_{i}\overline{{ v}}_{j}\right),\tag{7.15} $$

该项构成所谓的 Reynolds 应力张量，表示由湍流脉动引起的动量输运。层流黏性应力根据式（7.2）、（7.3），采用 Reynolds 平均速度分量计算，即

$$ \overline{{\tau}}_{i j}=2\mu\;\overline{{S}}_{i j}=\mu\left(\frac{\partial\overline{{ v}}_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial\overline{{ v}}_{j}}{\partial x_{i}}\right).\tag{7.16} $$

在三维情况下，Reynolds 应力张量由以下九个分量组成：

$$ \rho\overline{v_i^{\prime}v_j^{\prime}}=\begin{bmatrix}\rho\overline{(v_1^{\prime})^2}&\rho\overline{v_1^{\prime}v_2^{\prime}}&\rho\overline{v_1^{\prime}v_3^{\prime}}\\\rho\overline{v_2^{\prime}v_1^{\prime}}&\rho\overline{(v_2^{\prime})^2}&\rho\overline{v_2^{\prime}v_3^{\prime}}\\\rho\overline{v_3^{\prime}v_1^{\prime}}&\rho\overline{v_3^{\prime}v_2^{\prime}}&\rho\overline{(v_3^{\prime})^2}\end{bmatrix}.\tag{7.17} $$

不过，关联量中的 $ v_{i}^{\prime} $ 与 $ v_{j}^{\prime} $ 可以互换，因此 Reynolds 应力张量只有六个独立分量。法向应力之和除以密度定义了湍动能，即

$$ K=\frac{1}{2}\overline{{ v_{i}^{\prime} v_{i}^{\prime}}}=\frac{1}{2}\left[\overline{{( v_{1}^{\prime})^{2}}}+\overline{{( v_{2}^{\prime})^{2}}}+\overline{{( v_{3}^{\prime})^{2}}}\right].\tag{7.18} $$

由此可见，基于 Reynolds 平均 Navier–Stokes 方程的湍流建模，其根本问题在于寻找六个附加关系，以封闭式（7.14）。7.1.5—7.1.7 节将介绍基本方法。

7.1.4 Favre 与 Reynolds 平均 Navier–Stokes 方程

湍流建模中常假设 Morkovin 假设 [22] 成立。该假设认为，若 $ \rho^{\prime} \ll \overline{\rho} $，密度脉动不会显著影响边界层的湍流结构。对于马赫数不超过约 5 的壁面受限流动，这通常成立。但对于高超声速流动或可压缩自由剪切层，必须计及密度脉动。含燃烧或显著传热的流动也同样如此。

在可压缩 Navier–Stokes 方程（7.1）中，对密度和压力采用 Reynolds 平均（式（7.8）或（7.10）），对其余流动变量采用式（7.11）的 Favre 平均，得到 [23]

$$ \begin{aligned}\frac{\partial\overline{\rho}}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\overline{\rho}\tilde{ v}_{i})&=0\\\frac{\partial}{\partial t}(\overline{\rho}\tilde{ v}_{i})+\frac{\partial}{\partial x_{j}}(\overline{\rho}\tilde{ v}_{j}\tilde{ v}_{i})&=-\frac{\partial\overline{p}}{\partial x_{i}}+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\tilde{\tau}_{ij}-\overline{\rho}\overline{ v_{i}^{\prime\prime}}\overline{ v_{j}^{\prime\prime}}\right)\\\frac{\partial}{\partial t}(\overline{\rho}\tilde{E})+\frac{\partial}{\partial x_{j}}(\overline{\rho}\tilde{ v}_{j}\tilde{H})&=\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(k\frac{\partial\tilde{T}}{\partial x_{j}}-\overline{\rho}\overline{ v_{j}^{\prime\prime}}\overline{h^{\prime\prime}}+\widetilde{\tau_{ij}}\overline{ v_{i}^{\prime\prime}}-\overline{\rho}\overline{ v_{j}^{\prime\prime}}K\right)\\&\quad+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left[\tilde{ v}_{i}\left(\tilde{\tau}_{ij}-\overline{\rho}\overline{ v_{i}^{\prime\prime}}\overline{ v_{j}^{\prime\prime}}\right)\right].\end{aligned}\tag{7.19} $$

这些方程称为 Favre 与 Reynolds 平均 Navier–Stokes 方程。与 Reynolds 平均类似，动量方程及能量方程中的黏性应力张量增加了 Favre 平均 Reynolds 应力张量，即

$$ \tau_{i j}^{F}=-\overline{{\rho}}\widetilde{ v_{i}^{\prime\prime} v_{j}^{\prime\prime}}.\tag{7.20} $$

其形式与式（7.17）相似，只是以 Favre 平均替代 Reynolds 平均。层流（分子）黏性应力张量 $ \tilde{\tau}_{ij} $ 的各分量采用 Favre 平均速度分量，由式（7.2）计算。

采用 Favre 平均湍动能的定义，即

$$ \overline{{\rho}}\tilde{K}=\frac{1}{2}\overline{{\rho}}\widetilde{ v_{i}^{\prime\prime} v_{i}^{\prime\prime}},\tag{7.21} $$

即可将式（7.19）中的总能量表示为

$$ \overline{{\rho}}\tilde{E}=\overline{{\rho}}\tilde{e}+\frac{1}{2}\overline{{\rho}}\tilde{ v}_{i}\tilde{ v}_{i}+\frac{1}{2}\overline{{\rho}}\widetilde{ v_{i}^{\prime\prime} v_{i}^{\prime\prime}}=\overline{{\rho}}\tilde{e}+\frac{1}{2}\overline{{\rho}}\tilde{ v}_{i}\tilde{ v}_{i}+\overline{{\rho}}\tilde{K}.\tag{7.22} $$

总焓定义为

$$ \overline{{\rho}}\tilde{H}=\overline{{\rho}}\tilde{h}+\frac{1}{2}\overline{{\rho}}\tilde{ v}_{i}\tilde{ v}_{i}+\frac{1}{2}\overline{{\rho}}\widetilde{ v_{i}^{\prime\prime} v_{i}^{\prime\prime}}=\overline{{\rho}}\tilde{h}+\frac{1}{2}\overline{{\rho}}\tilde{ v}_{i}\tilde{ v}_{i}+\overline{{\rho}}\tilde{K}.\tag{7.23} $$

Favre 与 Reynolds 平均 Navier–Stokes 方程（7.19）各部分的物理意义如下 $ [23] $：

$$ \frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(k\frac{\partial\tilde{T}}{\partial x_{j}}\right)\quad-\text{热量的分子扩散} $$

$$ \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\overline{{\rho}}\widetilde{ v_{j}^{\prime\prime}h^{\prime\prime}})\quad-\text{热量的湍流输运} $$

$$ \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\widetilde{\tau_{ij} v_{i}^{\prime\prime}})\quad-\text{湍动能的分子扩散} $$

$$ \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\overline{\rho}\widetilde{ v_{j}^{\prime\prime}K})\quad-\text{湍动能的湍流输运} $$

$$ \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\tilde{ v}_{i}\tilde{\tau}_{i j})\quad-\text{分子应力所作的功} $$

$$ \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\tilde{ v}_{i}\tau_{ij}^{\mathrm{F}})\quad-\text{Favre 平均 Reynolds 应力所作的功} $$

通常忽略 $ \tilde{K} $ 的分子扩散和湍流输运。对于跨声速和超声速流动，这是合理的近似。为了封闭 Favre 与 Reynolds 平均方程（7.19），还必须给出 Favre 平均 Reynolds 应力张量的六个分量（式（7.20））以及湍流热通量矢量的三个分量。下面几节将讨论三种基本方法。

7.1.5 涡黏性假设

Boussinesq 于 1877 年提出了对湍流建模影响最深远的思想之一 $ [17, 18] $。该思想基于以下观察：湍流中的动量输运主要由能量较大的大尺度湍涡所引起的混合控制。Boussinesq 假设认为，与层流类似，湍流剪切应力与平均应变率呈线性关系，比例系数即为涡黏度。对于 Reynolds 平均不可压缩流动（式（7.14）），Boussinesq 假设可写为

$$ \tau_{i j}^{\mathrm{R}}=-\rho\overline{{ v_{i}^{\prime} v_{j}^{\prime}}}=2\mu_{\mathrm{T}}\overline{{S}}_{i j}-\frac{2}{3}\rho K\delta_{i j},\tag{7.24} $$

其中，$ \overline{S}_{ij} $ 表示 Reynolds 平均应变率张量（式（7.3），亦参见式（7.16）），K 为湍动能（$ K = (1/2)\overline{ v_{i}^{\prime} v_{i}^{\prime}} $），$ \mu_{T} $ 表示涡黏度。与分子黏度 $ \mu $ 不同，涡黏度 $ \mu_{T} $ 不是流体的物性，而是局部流动条件的函数。此外，$ \mu_{T} $ 还显著受到流动历史效应的影响。

对于可压缩 Favre 与 Reynolds 平均 Navier–Stokes 方程（7.19），Boussinesq 涡黏性假设为

$$ \tau_{i j}^{\mathrm{F}}=-\overline{{\rho}}\widetilde{ v_{i}^{\prime\prime} v_{j}^{\prime\prime}}=2\mu_{T}\tilde{S}_{i j}-\left(\frac{2\mu_{\mathrm{T}}}{3}\right)\frac{\partial\tilde{ v}_{k}}{\partial x_{k}}\delta_{i j}-\frac{2}{3}\overline{{\rho}}\tilde{K}\delta_{i j},\tag{7.25} $$

其中，$ \tilde{S}_{ij} $ 和 $ \tilde{K} $ 分别为 Favre 平均应变率与湍动能。注意其与式（7.2）的相似性。式（7.24）、（7.25）中的项 $ (2/3)\rho K\delta_{ij} $ 用于保证 $ \tau_{ij}^{R} $ 或 $ \tau_{ij}^{F} $ 具有正确的迹。这意味着必须有

$$ \tau_{i i}^{\mathrm{R}}=-2\rho K\quad\text{或}\quad\tau_{i i}^{\mathrm{F}}=-2\overline{\rho}\tilde{K} $$

其条件为 $ \overline{S}_{ii}=0 $（连续性方程）或 $ \tilde{S}_{ii}=0 $，才能满足湍动能关系式（7.18）或（7.21）。然而，该项 $ (2/3)\rho K\delta_{ij} $ 常被忽略，尤其是在较简单的湍流模型（如代数模型）中。

湍流热通量矢量通常依据经典 Reynolds 比拟 $ [24] $ 进行近似建模，因此可以写为

$$ \overline{{\rho}}\widetilde{ v_{j}^{\prime\prime}h^{\prime\prime}}=-k_{\mathrm{T}}\frac{\partial\tilde{T}}{\partial x_{j}}\tag{7.26} $$

其中，湍流热导率 $ k_{T} $ 定义为

$$ k_{T}=c_{\mathrm{p}}\frac{\mu_{\mathrm{T}}}{\mathrm{Pr}_{\mathrm{T}}}.\tag{7.27} $$

式（7.27）中，$ c_{p} $ 表示定压比热，$ Pr_{T} $ 为湍流 Prandtl 数。一般假设湍流 Prandtl 数在流场中为常数（空气取 $ Pr_{T} = 0.9 $）。

对 Reynolds（及 Favre）平均形式的控制方程（2.19）或（7.1）采用涡黏性方法时，只需将黏性应力张量（式（2.15）或（7.2））中的动力黏度 $ \mu $ 替换为层流分量与湍流分量之和，即

$$ \mu=\mu_{\mathrm{L}}+\mu_{\mathrm{T}}.\tag{7.28} $$

层流黏度 $ \mu_{L} $ 可以采用 Sutherland 公式（2.30）等方法计算。此外，根据式（7.26）的 Reynolds 比拟，式（2.24）或（7.2）中的热导率 k 计算为

$$ k=k_{\mathrm{L}}+k_{\mathrm{T}}=c_{\mathrm{p}}\left(\frac{\mu_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Pr}_{\mathrm{L}}}+\frac{\mu_{\mathrm{T}}}{\mathrm{Pr}_{\mathrm{T}}}\right).\tag{7.29} $$

至少从工程角度看，Boussinesq 的涡黏性概念十分有吸引力，因为它“仅”要求确定 $ \mu_{T} $（式（7.24）或（7.25）中的项 $ (2/3)\rho K\delta_{ij} $ 所需的湍动能 K，可以作为湍流模型的附带结果得到，也可以直接忽略）。一旦知道涡黏度 $ \mu_{T} $，就可以通过引入平均流动变量，并在层流黏度上加上 $ \mu_{T} $，方便地将 Navier–Stokes 方程（2.19）至（7.1）用于湍流模拟。因此，Boussinesq 方法成为多种一阶湍流封闭模型的基础。不过，对于某些流动，Boussinesq 假设不再成立（例如见 [23，第 214 页] 或 [25，第 111 页]）：

• 平均应变率突变的流动；

• 流线曲率显著的流动；

• 具有旋转和分层的流动；

• 管道及叶轮机械中的二次流；

• 发生边界层分离和再附着的流动。

涡黏性方法的局限源于湍流与平均应变场之间处于平衡的假设，以及模型不依赖于系统旋转这一特点。通过在湍流模型中加入适当的修正项 $ [26, 27] $，可以显著改善结果。采用下一节介绍的非线性涡黏性模型，还可以进一步提高预测精度。

7.1.6 非线性涡黏性

为消除湍流与平均应变率平衡假设带来的限制，Lumley $ [28, 29] $ 提出，在 Boussinesq 线性方法中加入应变张量与旋转张量的高阶乘积。这可以视为 Taylor 级数展开。沿着 Lumley 的思路，人们提出了许多非线性涡黏性模型，例如见文献 $ [30–37] $。

下面介绍 Shih 等人 [31] 提出的一种较新的方法。该方法在一般涡黏性表达式中保留至三阶项，特别适用于旋流。正如 [25，第 194 页] 所指出，三次项对于实现高精度至关重要。Reynolds 应力 $ \tau_{ij}^{R} $ 可表示为 [31,32]（参见式（7.24））

$$ \begin{aligned}\rho\overline{ v_{i}^{\prime} v_{j}^{\prime}}&=\frac{2}{3}\rho K\delta_{ij}-C_{1}\frac{\rho K^{2}}{\varepsilon}2S_{ij}^{*}-C_{3}\frac{\rho K^{3}}{\varepsilon^{2}}\left[\overline{S}_{ik}\overline{\Omega}_{kj}-\overline{\Omega}_{ik}\overline{S}_{kj}\right]\\&\quad-C_{4}\frac{\rho K^{4}}{\varepsilon^{3}}\left[(\overline{S}_{ik})^{2}\overline{\Omega}_{kj}-\overline{\Omega}_{ik}(\overline{S}_{kj})^{2}\right]\\&\quad+C_{5}\frac{\rho K^{4}}{\varepsilon^{3}}\left[\overline{\Omega}_{ik}\overline{S}_{km}\overline{\Omega}_{mj}-\frac{1}{3}\overline{\Omega}_{kl}\overline{S}_{lm}\overline{\Omega}_{mk}\delta_{ij}+I_{s}S_{ij}^{*}\right]\end{aligned}\tag{7.30} $$

其中，$ \overline{S}_{ij} $、$ \overline{\Omega}_{ij} $ 按式（7.3）、（7.4）定义。此外，

$$ \begin{array}{l}{I_{s}=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\overline{{S}}_{k k}\overline{{S}}_{l l}-(\overline{{S}}_{k k})^{2}\right]S_{i j}^{*},}\\ {S_{i j}^{*}=\overline{{S}}_{i j}-\displaystyle\frac{1}{3}\overline{{S}}_{k k}\delta_{i j}.}\end{array}\tag{7.31} $$

校注：原书把 $S_{ij}^{*}$ 也写入 $I_s$ 的定义，而式（7.30）末项又乘以 $S_{ij}^{*}$，会重复这一因子；式（7.31）的缩并下标亦应核对。译文保留原式。

湍动能 K 和耗散率 $ \varepsilon $ 由低雷诺数 $ K-\varepsilon $ 湍流模型得到（参见 7.2.2 节）。式（7.30）中的系数 $ C_{1} $ 至 $ C_{5} $ 见文献 [31,32]。

与线性涡黏性方法相比，非线性模型的计算成本仅略有增加，却能显著改善某些复杂湍流的预测结果。

7.1.7 Reynolds 应力输运方程

对下式取时间平均（二阶矩），可以推导出 Reynolds 应力的精确方程：

$$ \overline{{ v_{i}^{\prime}\mathcal{N}( v_{j})+ v_{j}^{\prime}\mathcal{N}( v_{i})}}=0,\tag{7.32} $$

其中，$ \mathcal{N}( v_{i}) $ 表示 Navier–Stokes 算子，即

$$ \mathcal{N}( v_{i})=\rho\frac{\partial v_{i}}{\partial t}+\rho v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial p}{\partial x_{i}}-\mu\nabla^{2} v_{i}.\tag{7.33} $$

利用平均关系式（7.32）和式（7.33），得到以下 Reynolds 应力输运方程 [38]：

$$ \frac{\partial\tau_{ij}^{R}}{\partial t}+\bar{ v}_{k}\frac{\partial\tau_{ij}^{R}}{\partial x_{k}}=P_{ij}+\Pi_{ij}-\varepsilon_{ij}-\frac{\partial C_{ijk}}{\partial x_{k}}+\mu\nabla^{2}\tau_{ij}^{R}\tag{7.34} $$

校注：原书最后一项以动力黏度 $\mu$ 乘应力的 Laplace 算子；按其余项的量纲，这一扩散系数应核对是否为运动黏度 $\nu=\mu/\rho$。译文保留原式。

该式适用于不可压缩流动。可压缩流动的形式见文献 [23，第 179 页] 或 [39,40]。式（7.34）中的湍动能生成项 $ P_{ij} $、压力—应变项 $ \Pi_{ij} $、耗散率项 $ \varepsilon_{ij} $ 和三阶扩散项 $ C_{ijk} $ 定义为

$$ \begin{gathered}P_{i j}=-\tau_{i k}^{R}\frac{\partial\overline{{ v}}_{j}}{\partial x_{k}}-\tau_{j k}^{R}\frac{\partial\overline{{ v}}_{i}}{\partial x_{k}},\\\Pi_{i j}=\overline{{p^{\prime}\left(\frac{\partial v_{i}^{\prime}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial v_{j}^{\prime}}{\partial x_{i}}\right)}}=2\overline{{p^{\prime}S_{i j}^{\prime}}},\\\begin{aligned}\varepsilon_{ij}&=2\mu\overline{\frac{\partial v_{i}^{\prime}}{\partial x_{k}}\frac{\partial v_{j}^{\prime}}{\partial x_{k}}},\\C_{ijk}&=\rho\overline{ v_{i}^{\prime} v_{j}^{\prime} v_{k}^{\prime}}+\overline{p^{\prime} v_{i}^{\prime}}\delta_{jk}+\overline{p^{\prime} v_{j}^{\prime}}\delta_{ik},\end{aligned}\end{gathered}\tag{7.35} $$

其中，$ S_{ij}^{\prime} $ 表示应变率张量的脉动部分。$ C_{ijk} $ 的第一部分，即三重速度项，表示脉动对流引起的输运；其余两部分分别为压力输运项（压力—速度关联）。

可以看出，精确的 Reynolds 应力方程包含新的未知高阶关联量（例如 $ \overline{ v_{i}^{\prime} v_{j}^{\prime} v_{k}^{\prime}} $），因此只有借助经验模型才能封闭式（7.34）。这源于 Navier–Stokes 方程的非线性性质。二阶封闭模型，即 Reynolds 应力模型，提供了求解式（7.34）所需的框架。实现示例可参见文献 [41–45]。