2.1 流动及其数学描述

第 2 章 控制方程

2.1 流动及其数学描述

在开始推导描述流体行为的基本方程之前，有必要先澄清“流体动力学”这一术语的含义。它实际上研究的是大量个体粒子相互作用时的运动；在这里，这些粒子是分子或原子。这意味着，我们假设流体的密度足够高，可以将其近似视为连续介质。按照这一假设，即使是微积分意义上的无穷小流体微元，也仍包含足够多的粒子，从而能够为该微元规定平均速度和平均动能。这样，我们就能在流体的每一点定义速度、压力、温度、密度及其他重要物理量。

流体动力学基本方程的推导，以流体的动力学行为受以下守恒定律支配这一事实为依据：

1. 质量守恒；

2. 动量守恒；

3. 能量守恒。

某一流动物理量的守恒，是指该物理量在任意体积内的总变化，可以表示为穿过边界的输运量、内部作用力与源项，以及作用于该体积的外力所产生的净效应。穿过边界的物理量称为通量。一般而言，通量可分为两部分：一部分来自对流输运，另一部分来自流体即使在宏观上静止时仍存在的分子运动。后一部分具有扩散性质，与所考察物理量的梯度成正比，因此，当该物理量均匀分布时，这部分通量为零。

对守恒定律的讨论，很自然地引出了这样一种思路：将流场划分为若干体积，并集中研究流体在其中某个有限区域内的行为。为此，我们定义所谓的有限控制体，并尝试建立其物理性质的数学描述。

2.1.1 有限控制体

考虑图 2.1 中用流线表示的一般流场。流场中一个任意的有限区域，由闭合曲面 $ \partial\Omega $ 包围，并固定在空间中，我们将其定义为控制体 $ \Omega $。同时，引入面元 dS 及其对应的、指向外侧的单位法向量 $ \vec{n} $。以单位体积的某个标量 U 为例，守恒定律指出，该标量在 $ \Omega $ 内随时间的变化率，即

$$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{\Omega}U\mathrm{d}\Omega $$

等于以下各项贡献之和。首先是对流通量，即物理量 U 以速度 $ \vec{v} $ 穿过边界进入控制体所产生的贡献：

$$ -\oint_{\partial\Omega}U(\vec{v}\cdot\vec{n})\mathrm{d}S, $$

其次是扩散通量，其表达式由广义 Fick 梯度定律给出：

$$ \oint_{\partial\Omega}\kappa\rho[\nabla(U/\rho)\cdot\vec{n}]\mathrm{d}S, $$

其中，$ \kappa $ 为热扩散系数。最后还有体积源项 $ Q_{V} $ 和表面源项 $ \vec{Q}_{S} $ 的贡献，即

$$ \int_{\Omega}Q_{V}d\Omega+\oint_{\partial\Omega}(\vec{\boldsymbol{Q}}_{S}\cdot\vec{\boldsymbol{n}})\mathrm{d}S. $$

将上述各项贡献相加，便得到标量 U 的守恒定律的一般形式：

$$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{\Omega}U\mathrm{d}\Omega+\oint_{\partial\Omega}\left[U(\vec{v}\cdot\vec{n})-\kappa\rho(\nabla U^{*}\cdot\vec{n})\right]\mathrm{d}S=\int_{\Omega}Q_{V}d\Omega+\oint_{\partial\Omega}(\vec{Q}_{S}\cdot\vec{n})\mathrm{d}S,\tag{2.1} $$

其中，U* 表示单位质量对应的物理量 U，即 U/ρ。

如果守恒量是矢量而非标量，式（2.1）在形式上仍然成立。区别在于，对流通量和扩散通量将由矢量变为张量：$ \overline{\overline{F}}_{C} $ 是对流通量张量，$ \overline{\overline{F}}_{D} $ 是扩散通量张量。体积源项将成为矢量 $ \vec{Q}_{V} $，表面源项则成为张量 $ \overline{\overline{Q}}_{S} $。因此，对于一般的矢量物理量 $ \vec{U} $，守恒定律可写为

$$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{\Omega}\vec{U}\mathrm{d}\Omega+\oint_{\partial\Omega}\left[(\overline{\overline{F}}_{\mathrm{C}}-\overline{\overline{F}}_{\mathrm{D}})\cdot\vec{n}\right]\mathrm{d}S=\int_{\Omega}\vec{Q}_{V}\mathrm{d}\Omega+\oint_{\partial\Omega}(\overline{\overline{Q}}_{S}\cdot\vec{n})\mathrm{d}S.\tag{2.2} $$

式（2.1）或式（2.2）给出的守恒定律积分形式，具有两个十分重要且有利的性质：

1. 当不存在体积源项时，U 的变化仅取决于穿过边界 $ \partial\Omega $ 的通量，而不取决于控制体 $ \Omega $ 内部的任何通量。

2. 当流场中存在激波或接触间断等不连续现象时，这一形式仍然有效 $ [1] $。

由于积分形式具有普适性和上述有利性质，如今大多数 CFD 程序都以控制方程的积分形式为基础，也就不足为奇了。

下一节将利用上述积分形式，推导流体动力学三大守恒定律各自的表达式。