A.4 旋转参考系中的 Navier–Stokes 方程
A.4 旋转参考系中的 Navier–Stokes 方程
在某些情况下，例如叶轮机械、螺旋桨或地球物理应用中，计算域绕某条轴匀速旋转。此时，将 Navier–Stokes 方程变换到旋转参考系更方便。考虑图A.6：点 P 以恒定角速度 $ \vec{\omega} $ 绕固定轴旋转。为简单起见，假设旋转轴与 x 轴重合，因此角速度分量为 $ \vec{\omega} = [\omega_{1}, 0, 0]^{T} $。绝对速度 $ \vec{ v}_{a} $ 为相对速度 $ \vec{ v}_{r} $ 与牵连速度 $ \vec{ v}_{e} $ 之和，即
$$ \vec{ v}_{\mathrm{a}}=\vec{ v}_{\mathrm{r}}+\vec{ v}_{\mathrm{e}}=\vec{ v}_{\mathrm{r}}+\vec{\omega}\times\vec{r}.\tag{A.25} $$
$$ \vec{f}_{\mathrm{corr}}=-2\left(\vec{\omega}\times\vec{ v}_{\mathrm{r}}\right).\tag{A.26} $$
单位质量的离心力为
$$ \vec{f}_{\mathrm{cen}}=-\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})=\omega_{1}^{2}\vec{r}_{n},\tag{A.27} $$
其中，$ \vec{r}_{n} $ 为垂直旋转轴的位置矢量。因此，必须在式（2.25）的源项 $ \vec{Q} $ 中，为动量方程加入 Coriolis 力与离心力之和。能量方程也因离心力而改变；Coriolis 力不参与能量平衡。只有连续性方程不变，因为质量平衡不受参考系旋转影响。因此，在绕 x 轴以恒定角速度旋转的相对参考系中，Navier–Stokes 方程为
$$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{\Omega}\vec{W}\mathrm{d}\Omega+\oint_{\partial\Omega}\left(\vec{F}_{c}-\vec{F}_{ v}\right)\mathrm{d}S=\int_{\Omega}\vec{Q}\mathrm{d}\Omega.\tag{A.28} $$
守恒变量矢量 $ \vec{W} $ 包含以下分量：
$$ \vec{W}=\begin{bmatrix}\rho\\ \rho u\\ \rho v\\ \rho w\\ \rho E\end{bmatrix},\tag{A.29} $$
其中，$ \rho $ 为密度，u、v、w 为相对参考系中的笛卡尔速度分量，E 为单位质量的相对总能量，其表达式为
$$ E=e+\frac{|\vec{ v}_{\mathrm{r}}|^{2}}{2}-\frac{|\vec{ v}_{\mathrm{e}}|^{2}}{2}=e+\frac{u^{2}+ v^{2}+w^{2}}{2}-\frac{\omega_{1}^{2}|\vec{r}_{n}|^{2}}{2}\tag{A.30} $$
其中，$ |\vec{r}_{n}|^{2}=y^{2}+z^{2} $。对流通量矢量 $ \vec{F}_{c} $ 定义为
$$ \vec{F}_{c}=\begin{bmatrix}\rho V\\ \rho u V+n_{x}p\\ \rho v V+n_{ y}p\\ \rho w V+n_{z}p\\ \rho I V\end{bmatrix}\tag{A.31} $$
其中，p 为静压，$ n_{x}, n_y, n_{z} $ 为表面 $ \partial\Omega $ 外向单位法向矢量的各分量。此外，
$$ \begin{aligned}&I=h+\frac{|\vec{ v}_{\mathrm{r}}|^{2}}{2}-\frac{|\vec{ v}_{\mathrm{e}}|^{2}}{2}=H-\frac{\omega_{1}^{2}|\vec{r}_{n}|^{2}}{2},\\&V=n_{x}u+n_{ y} v+n_{z}w,\\ \end{aligned}\tag{A.32} $$
其中，I 为转子焓，H 为相对总焓，V 为逆变速度。转子焓表征匀速旋转参考系中的总能量含量。
黏性通量矢量 $ \vec{F}_{ v} $ 保持式（2.23）的形式，黏性应力张量分量在形式上也仍满足式（2.15）。但是，源项 $ \vec{Q} $ 加入 Coriolis 力和离心力，变为
$$ \vec{Q}=\begin{bmatrix}0\\ \rho f_{\mathrm{e},x}\\ \rho\omega_{1}(y\omega_{1}+2w)+\rho f_{\mathrm{e}, y}\\ \rho\omega_{1}(z\omega_{1}-2 v)+\rho f_{\mathrm{e},z}\\ \rho\vec{f}_{\mathrm{e}}\cdot\vec{ v}_{\mathrm{r}}+\dot{q}_{h}\end{bmatrix}\tag{A.33} $$
校注：原书将 $\dot q_h$ 称为单位质量传热速率，却在源项中直接写作 $\dot q_h$。若采用这一单位质量定义，能量体积源项应为 $\rho\dot q_h$；若 $\dot q_h$ 已是单位体积热源，原式成立。式（A.8）也应按同一约定核对。译文保留原式。
其中，$ \rho\bar{f}_{e} $ 为单位体积的体积力，不包括已单独计入的 Coriolis 力和离心力；$ \dot{q}_{h} $ 为单位质量的传热速率。
变换后的控制方程（A.28），通过状态变量之间的热力学关系闭合。对于完全气体，压力由以下公式计算：
$$ p=(\gamma-1)\rho\left[E-\frac{u^{2}+ v^{2}+w^{2}-\omega_{1}^{2}|\vec{r}_{n}|^{2}}{2}\right],\tag{A.34} $$
其中，$ \gamma $ 为比热比。此外，还须根据流体状态给出黏度和热导率。