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1 引言 2 控制方程     2.1 笛卡尔坐标系下的三维控制方程         2.1.1 浅水方程        2.1.2 盐度和温度输运方程        2.1.3 标量输运方程        2.1.4 湍流模型        2.1.5 笛卡尔及Sigma坐标系下的控制方程     2.2 球坐标与$\sigma$坐标下的三维控制方程     2.3 笛卡尔坐标下的二维控制方程        2.3.1 浅水方程        2.3.2 盐度和温度输运方程        ...

本文档旨在介绍由 DHI Water & Environment 开发的新型 MIKE 21 & MIKE 3 Flow Model FM 建模系统的科学背景。进而为用户详细描述水流与输运模型方程、数值离散及求解方法。此外，文档还讨论了模型验证相关内容。 MIKE 21 & MIKE 3 Flow Model FM 基于柔性网格（Flexible Mesh）方法，为海洋、海岸及河口环境的应用而开发，也可应用于地表漫流。 模型基于二维/三维不可压缩雷诺平均纳维-斯托克斯（Reynolds averaged Nav...

2.1.1 浅水方程       模型基于三维不可压缩雷诺平均 Navier–Stokes 方程的求解，并采用 Boussinesq 假设与静水压力假设。       局部连续方程写为： $$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=S\tag{2.1}$$       分别对应 $x$ 与 $y$ 分量的两条水平动量方程为： $$\begin{align}\fra...

      在球坐标系中，自变量为经度 $\lambda$ 与纬度 $\phi$。水平速度场 $(u,v)$ 定义为： $$ u=R\cos\phi\frac{d\lambda}{dt}\quad v=R\frac{d\phi}{dt}\tag{2.54} $$ 其中：$R$ 为地球半径。         在该坐标系下，控制方程可写为（为书写简便，下文省略表示新坐标系的水平坐标上标）： $$ \frac{\partial h}{\partial t}+\frac{1}{R\cos\phi}\Bigg(\fr...

2.3.1 浅水方程       对水平动量方程与连续方程在水深 $h=\eta+d$ 上做垂向积分，可得到二维浅水方程： $$ \frac{\partial h}{\partial t}+\frac{\partial (h\overline{u})}{\partial x}+\frac{\partial (h\overline{v})}{\partial y}=hS\tag{2.65} $$ $$ \begin{aligned}\frac{\partial (h\overline{u})}{\partial...

      在球坐标中，自变量为经度 $\lambda$ 与纬度 $\phi$。水平速度场 $(\overline{u},\overline{v})$ 定义为：$$ \overline{u}=R\cos\phi\frac{d\lambda}{dt}\quad\overline{v}=R\frac{d\phi}{dt}\tag{2.73} $$其中：$R$ 为地球半径。        球坐标下的二维控制方程可写为：$$ \frac{\partial h}{\partial t}+\frac{1}{R\cos\phi}...

      底部应力 $\vec{\tau}_{b}=(\tau_{bx},\tau_{by})$ 由二次摩擦定律确定： $$ \frac{\vec{\tau}_{b}}{\rho_{0}}=c_{f}\vec{u}_{b}\big|\vec{u}_{b}\big|\tag{2.80} $$ 其中：$c_f$ 为阻力系数，$\vec{u}_b=(u_b,v_b)$ 为底部上方的流速。与底部应力对应的摩擦速度为： $$ U_{\tau b}=\sqrt{c_{f}\left|\vec{u}_{b}\right|...

      在无冰覆盖区域，表面应力 $\vec{\tau}_{s}=(\tau_{sx},\tau_{sy})$ 由水面上方风场决定，经验关系为： $$ \vec{\tau}_{s}=\rho_{a}c_{d}\left|\vec{u}_{w}\right|\vec{u}_{w}\tag{2.88} $$ 其中：$\rho_a$ 为空气密度，$c_d$ 为空气阻力系数，$\vec{u}_w=(u_w,v_w)$ 为海面以上 10 m 处风速。与表面应力对应的摩擦速度为： $$ U_{\tau s}=\sqr...

      可考虑冰盖对流场的影响。         在海面被冰覆盖的区域，风应力被排除，表面应力改由冰面粗糙度引起。表面应力 $\vec{\tau}_{s}=(\tau_{sx},\tau_{sy})$ 由二次摩擦定律确定： $$ \frac{\vec{\tau}_{s}}{\rho_{0}}=c_{f}\vec{u}_{s}\left|\vec{u}_{s}\right|\tag{2.91} $$ 其中：$c_f$ 为阻力系数，$\vec{u}_s=(u_s,v_s)$ 为表层下方的流速。对应的摩擦速度为...

      潮汐势是由地球、月球与太阳相对运动引起的重力变化所产生的体力，作用于整个计算域。该强迫在频率空间展开，可表示为多个潮汐分潮的叠加。模型以“平衡潮”（equilibrium tide）的形式实现，可理解为若地球表面完全被水覆盖时理论上会出现的水位起伏。该强迫以附加项（平衡潮水位梯度）进入动量方程，使得水位 $\eta$ 可视为实际水位与平衡潮势的叠加： $$ \eta=\eta_{ACTUAL}+\eta_{T}\tag{2.97} $$       平衡潮势 $\eta_T$ 表达为： $$ \e...

      可在模拟中考虑短周期波破碎产生的二阶应力。辐射应力作为平均流的驱动力，可用于计算波生流。对三维模拟采用简化处理：辐射应力在垂向上取均匀分布（uniform variation）。

      与大气的热交换基于以下四个物理过程计算：         • 潜热通量（蒸发导致的热损失）         • 显热通量（对流导致的热通量）         • 净短波辐射         • 净长波辐射         潜热、显热与长波辐射假定发生在水面；短波辐射的吸收剖面用 Beer 定律近似。光强衰减用修正 Beer 定律表示： $$ I(d)=\left(1-\beta\right)I_{0}e^{-\lambda d}\tag{2.100} $$ 其中：$I(d)$ 为距水面深度...

      求解域内的离散采用有限体积法（finite volume method）。空间域通过将连续体划分为互不重叠的单元/网格单元（cells/elements）来离散。         在二维情况下，单元可以为任意形状多边形，但本文仅考虑三角形与四边形单元。         在三维情况下采用分层网格（layered mesh）：水平面使用非结构网格（unstructured mesh），垂向使用结构网格（structured mesh）（见图 3.1）。垂向网格可基于 $\sigma$ 坐标，或采用 $\...

      考虑一般形式的方程： $$ \frac{\partial\boldsymbol{U}}{\partial t}=\boldsymbol{G}\big(\boldsymbol{U}\big)\tag{3.18} $$       对二维模拟，浅水方程与输运方程均可采用两种时间积分：低阶方法与高阶方法。低阶方法为一阶显式 Euler： $$ \boldsymbol{U}_{n+1}=\boldsymbol{U}_{n}+\Delta t\,\boldsymbol{G}\big(\boldsymbol{...

3.3.1 封闭边界（Closed boundaries）       沿封闭边界（陆地边界），所有变量的法向通量强制为零。对动量方程而言，这对应陆地边界全滑移（full-slip）。对浅水方程，也可采用无滑移条件（no-slip），即法向与切向速度分量均为零。 3.3.2 开放边界（Open boundaries）       对浅水方程可施加多种开放边界条件。         通量边界、速度边界与 Flather 边界均采用弱形式（weak approach）施加：使用虚单元（ghost cell）技术...