2.5 底部应力（Bottom Stress）

      底部应力 $\vec{\tau}_{b}=(\tau_{bx},\tau_{by})$ 由二次摩擦定律确定：

$$ \frac{\vec{\tau}_{b}}{\rho_{0}}=c_{f}\vec{u}_{b}\big|\vec{u}_{b}\big|\tag{2.80} $$

其中：$c_f$ 为阻力系数，$\vec{u}_b=(u_b,v_b)$ 为底部上方的流速。与底部应力对应的摩擦速度为：

$$ U_{\tau b}=\sqrt{c_{f}\left|\vec{u}_{b}\right|^{2}}\tag{2.81} $$

      对二维计算，$\vec{u}_{b}$ 取水深平均速度；阻力系数可由 Chezy 系数 $C$ 或 Manning 系数 $M$ 确定：

$$ c_{f}=\frac{g}{C^{2}}\tag{2.82} $$

$$ c_{f}=\frac{g}{\left(Mh^{1/6}\right)^{2}}\tag{2.83} $$

      对三维计算，$\vec{u}_b$ 为距海床 $\Delta z_b$ 处的速度；假设海床至该点之间满足对数速度剖面，则：

$$ c_{f}=\frac{1}{\left(\frac{1}{\kappa}\ln\left(\frac{\Delta z_{b}}{z_{0}}\right)\right)^{2}}\tag{2.84} $$

其中：$\kappa=0.4$ 为 von Kármán 常数，$z_0$ 为床面粗糙长度尺度。若边界为粗糙面，则 $z_0$ 与粗糙高度 $k_s$ 的关系为：

$$ z_{0}=m k_{s}\tag{2.85} $$

其中：$m\approx 1/30$。  

      Manning 系数也可由床面粗糙长度近似估算：

$$ M=\frac{25.4}{k_{s}^{1/6}}\tag{2.86} $$

      波浪诱导的床面阻力可由下式确定：

$$ c_{f}=\left(\frac{U_{fc}}{|\vec{u}_{b}|}\right)^{2}\tag{2.87} $$

其中：$U_{fc}$ 为在波边界层条件下计算得到的摩擦速度。关于波浪诱导床面阻力的详细描述见 Fredsøe (1984) 与 Jones et al. (2014)。