5.1 近场计算（Nearfield Calculations）

      近场解基于 Jirka (2004) 所述的积分喷流模型方程，通过在给定环境条件下求解体积通量与动量通量、盐度与温度（若包含）等守恒方程，确定喷流/羽流的稳态解。  

      假设速度剖面以及状态参数与标量质量的分布满足高斯（Gaussian）形式。喷流模型采用夹带（entrainment）闭合方法，将横向剪切与方位向剪切（azimuthal shear）机制对夹带的贡献区分开来；并包含一个二次定律的湍流阻力机制（$F_{D}$），该机制由近期关于横向喷流入横向来流（transverse jets into crossflow）动力学的实验研究所建议。依据 Jirka (2004) 的体积（连续方程）、全局方向动量分量、状态参数与标量质量守恒，可得到：

$$ \frac{dQ}{ds}=E \tag{5.1} $$

$$ \frac{dM_{x}}{ds}=Eu_{a}+F_{D}\sqrt{1-\cos^{2}\theta\cos^{2}\sigma} \tag{5.2} $$

$$ \frac{dM_{y}}{ds}=-F_{D}\frac{\cos^{2}\theta\sin\sigma\cos\sigma}{\sqrt{1-\cos^{2}\theta\cos^{2}\sigma}} \tag{5.3} $$

$$ \frac{dM_{z}}{ds}=\pi\lambda^{2}b^{2}g_{c}^{\prime}-F_{D}\frac{\sin\theta\cos\theta\cos\sigma}{\sqrt{1-\cos^{2}\theta\cos^{2}\sigma}} \tag{5.4} $$

      其中 $s$ 为沿喷流轨迹的轴向距离，$E$ 为夹带率；$b$ 为喷流特征宽度（定义为喷流半径，使喷流超额速度为 $e^{-1}=37\%$ 时对应的半径）。中心线密度包含在中心线浮力加速度 $g_{c}^{\prime}$ 的定义中，并由 UNESCO 状态方程按盐度 $S$ 与温度 $T$ 计算：

$$ \rho_{Jet}=\rho_{UNESCO}(S,T) \tag{5.5} $$

      若喷流中含有泥沙且其动力学被纳入计算，则喷流密度会按泥沙存在进行修正（可通过在 MT 模块中定义源并激活 MT-HD 反馈实现）：

$$ \rho_{Jet}=(1-C_{sed})\rho_{Jet}+C_{sed}\rho_{sed} \tag{5.6} $$

其中 $C_{sed}$ 为体积分数泥沙浓度（由用户在 MT 模块中为 Jet 源提供的泥沙浓度换算得到），$\rho_{sed}$ 为泥沙密度（由用户在 MT 模块 MT-HD 反馈中提供）。随后定义浮力加速度（$\rho_{a}$ 为环境密度，$\rho_{ref}$ 为参考密度，由 HD 模块中用户提供的参考盐度与温度计算）：

$$ g_{c}^{\prime}=\frac{\rho_{Jet}-\rho_{a}}{\rho_{ref}}g \tag{5.7} $$

      影响喷流轨迹与稀释率的两个关键物理过程是夹带率 $E$ 与环境阻力 $F_{D}$。夹带率与喷流中心线速度的顺流向贡献 $u_{c}$ 以及环境速度横向分量的方位向贡献 $u_{a}\sqrt{1-\cos^{2}\theta\cos^{2}\sigma}$ 成正比：

$$ E=2\pi bu_{c}\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\frac{\sin\theta}{F_{l}^{2}}+\alpha_{3}\frac{u_{a}\cos\theta\cos\sigma}{u_{c}+u_{a}}\right)+2\pi bu_{a}\sqrt{1-\cos^{2}\theta\cos^{2}\sigma}\,\alpha_{4}\left|\cos\theta\cos\sigma\right| \tag{5.8} $$

其中 $F_{l}$ 为局部密度弗劳德数（local densimetric Froude number）：

$$ F_{l}=\frac{u_{c}}{\sqrt{g_{c}^{\prime}b}} \tag{5.9} $$

      夹带函数中顺流向部分的第一项代表“纯喷流（pure jet）”效应，第二项加入“纯羽流（pure plume）”效应，第三项对应“纯尾迹（pure wake）”。Jirka (2004) 建议的经验系数为：

$$ \alpha_{1}=0.055,\quad\alpha_{2}=0.6,\quad\alpha_{3}=0.055,\quad\alpha_{4}=0.5 \tag{5.10} $$

      喷流偏折源于横向来流对其施加的压差阻力（$F_{D}$）以及喷流夹带横向运动流体所产生的动量贡献（$Eu_{a}$）。阻力以二次定律参数化（Jirka, 2004）：

$$ F_{D}=\frac{1}{2}C_{D}\,2\sqrt{2}\,b\,u_{a}^{2}\left(1-\cos^{2}\theta\cos^{2}\sigma\right) \tag{5.11} $$

      喷流直径计算为 $2\sqrt{2}b$，$C_{D}$ 为阻力系数，按 Chan et al. (1976) 作为喷流与环境速度比的函数。  

      喷流轨迹计算沿轨迹增量距离 $ds$ 离散。根据 Lee and Cheung (1990) 的建议：

$$ ds=dt\left(u_{c}+u_{a}\cos\theta\cos\sigma\right) \tag{5.12} $$

其中：

$$ dt=\frac{0.1D}{u_{c}} $$

且将 $dt$ 截断限制在 0.001 s 与 1.0 s 之间，$D$ 为初始喷流直径。  

      近场模型在每个 HD 时间步内计算喷流轨迹与稀释，直至到达近场区末端。尽管 HD 时间步可能远小于喷流到达近场末端所需时间，但假设背景流（环境）随时间的变化尺度慢于喷流从排放点到远场释放点的传播时间。