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第 1 章 绪论 计算流体力学（computational fluid dynamics，CFD）的历史始于 20 世纪 70 年代初。大约在那个时期，CFD 开始被用作一个缩写，指将物理学、数值数学，以及在一定程度上的计算机科学结合起来，用于模拟流体流动。功能日益强大的大型计算机的出现促成了 CFD 的起步；直到今天，CFD 的进步仍与计算机技术的发展紧密相连。CFD 方法最早的应用之一，是通过求解非线性势流方程模拟跨声速流动。进入 20 世纪 80 年代，首先是二维（2-D）Euler 方程，随后是三维（3-D...

目录 第 1 章 绪论 1 绪论 第 2 章 控制方程 2.1 流动及其数学描述 2.1.1 有限控制体 2.2 守恒定律 2.2.1 连续性方程 2.2.2 动量方程 2.2.3 能量方程 2.3 黏性应力 2.4 完整的 Navier–Stokes 方程组 2.4.1 完全气体的表述 2.4.2 真实气体的表述 2.4.3 Navier–Stokes 方程的简化 薄剪切层近似 抛物化 Navier–Stokes 方程 Euler 方程...

第 2 章 控制方程 2.1 流动及其数学描述 在开始推导描述流体行为的基本方程之前，有必要先澄清“流体动力学”这一术语的含义。它实际上研究的是大量个体粒子相互作用时的运动；在这里，这些粒子是分子或原子。这意味着，我们假设流体的密度足够高，可以将其近似视为连续介质。按照这一假设，即使是微积分意义上的无穷小流体微元，也仍包含足够多的粒子，从而能够为该微元规定平均速度和平均动能。这样，我们就能在流体的每一点定义速度、压力、温度、密度及其他重要物理量。 流体动力学基本方程的推导，以流体的动力学行为受以下守恒定律支配这一事...

2.2 守恒定律 2.2.1 连续性方程 若只考虑单相流体，质量守恒定律表达的是：在这样的流体系统中，质量既不能产生，也不能消失。连续性方程中也不存在扩散通量的贡献，因为对于静止流体，任何质量变化都意味着流体粒子发生位移。 为推导连续性方程，考虑图 2.1 所示的、固定在空间中的有限控制体模型。在控制面上的某一点，流动速度为 $ \vec{v} $，单位法向量为 $ \vec{n} $，dS 表示一个微小面元的面积。此时的守恒量是密度 $ \rho $。有限体积 $ \Omega $ 内总质量对时间的变化率为 $$...

2.3 黏性应力 流体与微元表面之间的摩擦所产生的黏性应力，由应力张量 $ \overline{\overline{\tau}} $ 描述。在 笛卡尔（Cartesian）坐标系中，其一般形式为 $$ \overline{\overline{\tau}}=\begin{bmatrix}\tau_{xx}&\tau_{xy}&\tau_{xz}\\ \tau_{y x}&\tau_{yy}&\tau_{y z}\\ \tau_{zx}&\tau_{zy}&\tau_{zz}\end{bmatrix}.\tag{2.1...

2.4 完整的 Navier–Stokes 方程组 前面几节分别推导了质量、动量和能量守恒定律。现在可将它们组合成一个方程组，以便更清楚地考察其中的各项。为此，回到式（2.2）所表达的矢量物理量的一般守恒定律。出于稍后将说明的原因，引入两个通量矢量，即 $ \vec{F}_{c} $ 和 $ \vec{F}_{v} $。第一个矢量 $ \vec{F}_{c} $ 与流体中各物理量的对流输运有关，通常称为对流通量矢量；不过，对于动量方程和能量方程，它还分别包含压力项 $ \vec{p}\vec{n} $（式（2.5）...

参考文献 [1] Lax PD. 非线性双曲型方程的弱解及其数值计算（Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation）. Comm Pure Appl Math 1954;7:159–93. [2] Aris R. 矢量、张量与流体力学基本方程（Vectors, tensors and the basic equations of fluid mechanics）. New York: Dover Pu...

第 3 章 控制方程的求解原理 上一章给出了完整的 Navier–Stokes／Euler 方程组，补充了完全气体的热力学关系，并为化学反应气体定义了附加输运方程。现在，我们可以求解整个控制方程组，以确定各流动变量。可以想见，求解方法多种多样。若暂不考虑仅适用于简化流动问题的解析方法，几乎所有求解策略都遵循同一基本过程。 首先，将需要计算流动的空间，即物理空间，划分为大量几何单元，称为网格单元。这个过程称为网格生成；有些作者使用 mesh 一词，含义相同。也可以将其理解为：先在物理空间中布置网格点，也称节点或顶点，...

3.2 时间离散 如本章开头所述，求解 Euler 方程和 Navier–Stokes 方程的绝大多数数值格式采用线方法，即分别进行空间与时间离散。这种方法具有最大的灵活性，因为可以根据待求问题的需要，方便地选择不同程度的近似， 分别用于对流通量、黏性通量和时间积分。因此，本书采用这一方法。关于将时间和空间离散相结合的其他方法，可参阅文献 $ ^{[63]} $。 将线方法应用于控制方程（2.19），并对每个控制体写出方程后，可得到一组关于时间的耦合常微分方程： $$ \frac{\mathrm{d}(\Omega...

3.3 湍流建模 对于无黏流或层流，求解控制方程（2.19）不存在根本性困难。然而，湍流模拟却是一个重大问题。尽管现代超级计算机性能很高，利用含时 Navier–Stokes 方程（2.19）直接模拟湍流，即直接数值模拟（DNS），仍只能用于低 Reynolds 数（Re）下较简单的流动。若注意到，为获得充分空间分辨率所需的网格点数按 $ Re^{9/4} $ 增长，CPU 时间按 $ Re^{3} $ 增长，就不难看出 DNS 的限制。这并不意味着 DNS 完全没有用处；它是理解湍流结构及层流—湍流转捩的重要工具...

3.4 初始条件与边界条件 无论选择何种数值方法求解控制方程（2.19），都必须给出合适的初始条件与边界条件。初始条件确定 t = 0 时，或迭代格式第一步时的流体状态。显然，初始猜测越好（越接近最终解），得到最终解就越快，数值求解过程失败的概率也相应降低。因此，初始解至少应满足控制方程及附加的热力学关系，这一点很重要。在外部空气动力学中，常见做法是在整个流场规定来流压力、密度及速度分量（由 Mach 数、迎角和侧滑角给出）。在透平机械中，应根据已有认识尽可能准确地指定整个区域内的流动方向，压力场也是如此。因此，采...

参考文献 [1] Frymier PD, Hassan HA, Salas MD. Navier-Stokes calculations using cartesian grids: I. Laminar flows. AIAA J 1988;26:1181-8. 题名中译：采用笛卡尔网格的 Navier–Stokes 计算：Ⅰ. 层流。 [2] De Zeeuw D, Powell KG. An adaptively refined Cartesian mesh solver for the Euler equa...

第 4 章 结构有限体积格式 如第 3 章引言所述，求解 Euler 和 Navier–Stokes 方程的绝大多数数值格式采用线方法，即分别进行空间和时间离散。因此，可以根据待求问题的需要，对空间导数和时间导数采用不同精度的数值近似，从而获得很大的灵活性。本章也将采用线方法。关于空间与时间耦合离散的数值方法，例如 Lax–Wendroff 格式族（包括显式 MacCormack 预估—校正格式、隐式 Lerat 格式等），可参阅文献 $ ^{[1]} $ 中的详细讨论。 一般的结构有限体积格式自然以守恒定律为基础...