8.4 入口／出口边界
8.4 入口／出口边界
某些情况下，入口和出口边界在速度、压力梯度及温度梯度方面还具有周期性。例如，热交换器模拟中会出现这种流动 $ [33] $。文献 $ [34–36] $ 介绍了槽道 LES 中周期入口和出口边界条件的实现。
亚声速入口
通常指定总压、总温和两个流动角度，并从流动区域内部插值一个特征变量。一种选择是采用向外传播的 Riemann 不变量 $ [30] $，定义为
$$ \mathcal{R}^{-}=\vec{ v}_{d}\cdot\vec{n}-\frac{2c_{d}}{\gamma-1},\tag{8.32} $$
其中，下标 d 表示区域内部状态（参见图 8.6a）。利用 Riemann 不变量，可确定边界上的速度大小或声速。实际应用表明，选择声速会使格式更稳定，尤其对于低马赫数流动。因此，设置
$$ c_{b}=\frac{-\mathcal{R}^{-}(\gamma-1)}{(\gamma-1)\cos^{2}\theta+2}\left\{1+\cos\theta\sqrt{\frac{\left[(\gamma-1)\cos^{2}\theta+2\right]c_{0}^{2}}{(\gamma-1)(\mathcal{R}^{-})^{2}}-\frac{\gamma-1}{2}}\right\}\tag{8.33} $$
其中，$ \theta $ 为相对于边界的流动角度，$ c_{0} $ 表示滞止声速。因此，
$$ \cos\theta=-\frac{\vec{ v}_{d}\cdot\vec{n}}{\|\vec{ v}_{d}\|_{2}}\tag{8.34} $$
以及
$$ c_{0}^{2}=c_{d}^{2}+\frac{\gamma-1}{2}\|\vec{ v}_{d}\|_{2}^{2},\tag{8.35} $$
其中，$ \|\vec{ v}_{d}\|_{2} $ 表示内部点 d（图 8.6a）的速度大小。式（8.34）假设单位法向量 $ \vec{n} $ 指向区域外部。
边界上的静温、压力、密度和速度大小等量按下式计算：
$$ \begin{aligned}T_{b}&=T_{0}\left(\frac{c_{b}^{2}}{c_{0}^{2}}\right),\\p_{b}&=p_{0}\left(\frac{T_{b}}{T_{0}}\right)^{\gamma/(\gamma-1)},\\\rho_{b}&=\frac{p_{b}}{RT_{b}},\\\|\vec{ v}_{b}\|_{2}&=\sqrt{2c_{p}\left(T_{0}-T_{b}\right)},\end{aligned}\tag{8.36} $$
其中，$ T_{0} $ 和 $ p_{0} $ 为给定的总温和总压，R 与 $ c_{p} $ 分别表示比气体常数和定压比热。根据指定的两个流动角度（二维时为一个），将 $ \|\vec{v}_{b}\|_{2} $ 分解，得到入口速度分量。
亚声速出口
在叶轮机械中，通常在出口指定静压。亚声速出口边界的处理与式（8.23）的出流条件十分相似，只需将环境压力 $ p_{a} $ 替换为给定的出口静压。
虚拟单元（点）中的流动变量，可以通过对边界和内部点 d 的状态作线性外推得到。
超声速入口与出口
这些情况下，所有特征线均为传入或传出。因此，入口处必须像式（8.20）那样指定全部守恒变量，出口处则按式（8.21）外推。