A.11 从守恒变量到特征变量的变换

A.11 从守恒变量到特征变量的变换

对流通量 Jacobian（A.9节）具有实特征值和完整的特征向量组，因此可对角化为 $ [25] $

$$ \bar{A}_{c}=\bar{T}\bar{\Lambda}_{c}\bar{T}^{-1},\tag{A.80} $$

其中，$ \bar{T}^{-1} $ 为左特征向量矩阵，$ \bar{T} $ 为右特征向量矩阵，$ \bar{\Lambda}_{c} $ 为特征值对角矩阵。从守恒变量（$ \vec{W} $）到特征变量（$ \vec{C} $）的变换，对于任意变化量 $ \delta $，例如 $ \partial_{t} $ 或 $ \vec{\nabla} $，可写为

$$ \delta\vec{C}=\bar{T}^{-1}\delta\vec{W}.\tag{A.81} $$

对流通量 Jacobian 的对角化可视为不同波的分解。右特征向量表示各个波，特征变量为波的振幅，特征值则为相应波速。下面的对角化区分两类波：一类是对流波或线性波，对应 $ \Lambda_{c}=\vec{v}\cdot\vec{n} $ 型特征值；另一类是声学波，对应 $ \Lambda_{c}=\vec{v}\cdot\vec{n}\pm c $ 型特征值。需要注意，不能沿多个空间方向同时对角化 [26]，因此通量差分分裂与 TVD 格式仅采用一维波分解。只有波动分裂格式（见3.1.5节）采用近似多维分解。

二维形式

二维情况下，$ \bar{A}_{c} $ 的左特征向量矩阵为 [24]

$$ \bar T^{-1}=\begin{bmatrix}1-\phi c^{-2}&a_1uc^{-2}&a_1vc^{-2}&-a_1c^{-2}\\-(n_xu-n_yv)\rho^{-1}&n_y\rho^{-1}&-n_x\rho^{-1}&0\\a_2(\phi-cV)&a_2(n_xc-a_1u)&a_2(n_yc-a_1v)&a_1a_2\\a_2(\phi+cV)&-a_2(n_xc+a_1u)&-a_2(n_yc+a_1v)&a_1a_2\end{bmatrix}.\tag{A.82} $$

校注：原书左特征向量矩阵第2行第1列写为 $-(n_xu-n_yv)/\rho$。与式（A.83）的右特征向量矩阵配对时，应核对为 $-(n_yu-n_xv)/\rho$，否则一般情况下两矩阵乘积不为单位矩阵。译文保留原书形式。

右特征向量矩阵为 $ [24] $

$$ \bar{T}=\begin{bmatrix}1&0&a_{3}&a_{3}\\ u&n_{ y}\rho&a_{3}(u+n_{x}c)&a_{3}(u-n_{x}c)\\ v&-n_{x}\rho&a_{3}( v+n_{ y}c)&a_{3}( v-n_{ y}c)\\ \phi a_{1}^{-1}&\rho(n_{ y}u-n_{x} v)&a_{3}(a_{4}+cV)&a_{3}(a_{4}-cV)\end{bmatrix}.\tag{A.83} $$

对角矩阵包含以下实特征值：

$$ \bar{\boldsymbol{\Lambda}}_{\mathrm{c}}=\begin{bmatrix}{{{\Lambda_{1}}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{\Lambda_{2}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\Lambda_{3}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\Lambda_{4}}}}\end{bmatrix}.\tag{A.84} $$

上述关系采用以下定义：

$$ \begin{aligned}a_{1}&=\gamma-1,\\a_{2}&=\frac{1}{\rho c\sqrt{2}},\\a_{3}&=\frac{\rho}{c\sqrt{2}},\\a_{4}&=\frac{\phi+c^{2}}{\gamma-1},\\V&=n_{x}u+n_yv,\\\phi&=\frac{1}{2}(\gamma-1)\big(u^{2}+ v^{2}\big),\\\Lambda_{1}&=\Lambda_{2}=V-V_{t},\\\Lambda_{3}&=V-V_{t}+c,\\\Lambda_{4}&=V-V_{t}-c.\end{aligned}\tag{A.85} $$

此外，$ \gamma $ 为比热比，c 为声速，$ \vec{n} = [n_{x}, n_y]^{\operatorname{T}} $ 为单位法向矢量，V 为逆变速度；$ V_{t} $ 为式（A.38）定义的控制体面逆变速度。静止网格应令 $ V_{t} $ 为零。

三维形式

三维情况下，$ \bar{A}_{c} $ 的左特征向量矩阵为 [24]

$$ \bar T^{-1}=\begin{bmatrix}n_xa_5-(n_zv-n_yw)\rho^{-1}&n_xa_1uc^{-2}&n_xa_1vc^{-2}+n_z\rho^{-1}&n_xa_1wc^{-2}-n_y\rho^{-1}&-n_xa_1c^{-2}\\n_ya_5-(n_xw-n_zu)\rho^{-1}&n_ya_1uc^{-2}-n_z\rho^{-1}&n_ya_1vc^{-2}&n_ya_1wc^{-2}-n_x\rho^{-1}&-n_ya_1c^{-2}\\n_za_5-(n_yu-n_xv)\rho^{-1}&n_za_1uc^{-2}+n_y\rho^{-1}&n_za_1vc^{-2}-n_x\rho^{-1}&n_za_1wc^{-2}&-n_za_1c^{-2}\\a_2(\phi-cV)&-a_2(a_1u-n_xc)&-a_2(a_1v-n_yc)&-a_2(a_1w-n_zc)&a_1a_2\\a_2(\phi+cV)&-a_2(a_1u+n_xc)&-a_2(a_1v+n_yc)&-a_2(a_1w+n_zc)&a_1a_2\end{bmatrix}.\tag{A.86} $$

校注：原书第2行第4列写为 $n_ya_1wc^{-2}-n_x\rho^{-1}$。与式（A.87）配对时，后一项应核对为正号 $+n_x\rho^{-1}$。译文保留原书形式。

右特征向量矩阵为 $ [24] $

$$ \bar T=\begin{bmatrix}n_x&n_y&n_z&a_3&a_3\\n_xu&n_yu-n_z\rho&n_zu+n_y\rho&a_3(u+n_xc)&a_3(u-n_xc)\\n_xv+n_z\rho&n_yv&n_zv-n_x\rho&a_3(v+n_yc)&a_3(v-n_yc)\\n_xw-n_y\rho&n_yw+n_x\rho&n_zw&a_3(w+n_zc)&a_3(w-n_zc)\\n_xa_6+\rho(n_zv-n_yw)&n_ya_6+\rho(n_xw-n_zu)&n_za_6+\rho(n_yu-n_xv)&a_3(a_4+cV)&a_3(a_4-cV)\end{bmatrix}.\tag{A.87} $$

对角矩阵包含以下实特征值：

$$ \bar{\boldsymbol{\Lambda}}_{c}=\begin{bmatrix}{{{\Lambda_{1}}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{\Lambda_{2}}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\Lambda_{3}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\Lambda_{4}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\Lambda_{5}}}}\end{bmatrix}.\tag{A.88} $$

采用以下简记：

$$ \begin{aligned}a_{1}&=\gamma-1,\\a_{2}&=\frac{1}{\rho c\sqrt{2}},\\a_{3}&=\frac{\rho}{c\sqrt{2}},\\a_{4}&=\frac{\phi+c^{2}}{\gamma-1},\\a_{5}&=1-\frac{\phi}{c^{2}},\\a_{6}&=\frac{\phi}{\gamma-1},\\V&=n_{x}u+n_y v+n_{z}w,\\\phi&=\frac{1}{2}(\gamma-1)\big(u^{2}+ v^{2}+w^{2}\big),\\\Lambda_{1}&=\Lambda_{2}=\Lambda_{3}=V-V_{t},\\\Lambda_{4}&=V-V_{t}+c,\\\Lambda_{5}&=V-V_{t}-c.\end{aligned}\tag{A.89} $$

式（A.86）—（A.89）中，$ \gamma $ 为比热比，c 为声速，$ \vec{n} = [n_{x}, n_{y}, n_{z}]^{T} $ 为单位法向矢量，V 为逆变速度；$ V_{t} $ 为式（A.38）定义的控制体面逆变速度。静止网格应令 $ V_{t} $ 为零。