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12.6 二维结构 Euler／Navier–Stokes 求解器

12.6 二维结构 Euler／Navier–Stokes 求解器

structured_2d 目录包含在结构贴体网格上求解二维 Euler 方程和 Navier–Stokes 方程的程序。空间离散基于4.2.1节的单元中心有限体积方法，采用4.3.1节的带标量人工耗散中心格式，以及4.3.3节的 Roe 迎风格式。控制方程用显式多级格式积分，见6.1.1或6.1.2节，并通过局部时间推进（9.1节）及中心隐式残差光顺（9.3.1节）加速。速度分量与温度梯度采用4.4.1节的对偶控制体方法计算。

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图12.2 密度残差与质量流率的收敛历程。图内 Convergence history：收敛历程；Mass flow (kg/s)：质量流率（千克／秒）；Iteration：迭代次数；log(residual)：残差的对数。
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图12.3 沿喷管长度的马赫数分布。图内 Mach number：马赫数；x (m)：轴向位置（米）。

程序还可模拟极低马赫数的不可压缩流动，见9.5节。为使代码易于理解，没有实现湍流模型。

流动求解器的源代码位于 src 子目录；输入文件、网格与结果位于 run 子目录；doc 子目录包含文件、模块、函数和变量的 HTML 文档。

程序利用虚拟单元概念（8.1节）处理边界条件，采用两层虚拟单元。图12.4展示计算域中的网格，亦见图8.1。程序仅支持单块网格，但边界条件的类型及指定方式非常灵活，提供以下八种边界类型：

  • 坐标割线，用于 C 型或 O 型网格；

  • 远场，可选涡修正，适用于亚声速及超声速；

  • 入口，仅适用于亚声速；

  • 出口，适用于亚声速及超声速；

  • 流体注入或抽吸；

  • 线周期边界；

  • 固壁，可为黏性或无黏；

  • 对称边界，沿 x=常数或 y=常数的直线。

上述边界条件的实现严格遵循第8章的讨论。

计算空间的四个边界可划分为任意数量的线段，每段可指定不同的边界条件。这与8.9节的网格块接口处理非常相似，实际上，程序较容易扩展到多块网格。边界线段定义与网格分开存储，保存在扩展名为 top 的拓扑文件中。

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图12.4 二维结构 Euler／Navier–Stokes 求解器的计算空间网格。每个边界（虚线）处均有两层虚拟单元，圆圈中的数字表示计算域各边。
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图12.5 二维结构 Euler／Navier–Stokes 求解器的控制体与面矢量。下标 $ (i,j) $ 表示单元，下标 $ (i,j) $ 表示网格节点。

求解器所用面矢量 SI 与 SJ，即 $ \vec{n} \cdot \Delta S $，其定义见图12.5。它们分别对应控制体 $ \mathsf{VOL}(\mathsf{I},\mathsf{J}) $ 的左面与底面，亦即 $ \Omega_{I,J} $，并指向控制体外部。其余两面的面矢量分别由 $ -\mathsf{SI}(\mathsf{I}+1,\mathsf{J}) $ 和 $ -\mathsf{SJ}(\mathsf{I},\mathsf{J}+1) $ 得到。因此，每个控制体只需存储两个面矢量。

12.6.1 运行示例

作为测试算例，计算对称 NACA 0012 翼型的跨声速绕流，远场边界条件如下：

  • 马赫数 $ M_{\infty} = 0.8 $；

  • 迎角 $ \alpha = 1.25^{\circ} $；

  • 静压 $ p_{\infty} = 1.0 \times 10^{5} $ Pa；

  • 静温 $ T_{\infty} = 288.0 K $。

模拟采用 Roe 迎风空间离散与显式时间推进，参数为 $ \sigma = 5.0 $、$ \epsilon = 1.2 $，限制器系数 K=30.0，熵修正系数 $ \delta = 0.05 \cdot c $。

算例网格可用12.3节的程序生成，也以 n0012.grd 文件提供于 run 子目录。求解器还需要各种参数，设置边界条件、数值格式及收敛历程与绘图文件输出；这些数据位于用户输入文件 n0012_input_r。

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图12.6 密度残差与升力系数的收敛历程。图内 Convergence history：收敛历程；Lift coefficient：升力系数；Iteration：迭代次数；log(residual)：残差的对数。
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图12.7 翼型周围的马赫数分布。

假设求解器源代码已编译，详情见 README.txt，打开终端窗口（Windows 中为命令提示符），进入 run，再输入以下命令即可开始模拟：

Struct2D n0012_input_r

计算产生图12.6的收敛历程，图12.7展示翼型周围的马赫数等值线。

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