10.2 离散格式的精度

10.2 离散格式的精度

离散格式的精度与其截断误差有关。例如，若截断误差的主项与 $ \Delta x $ 成正比，则称为空间一阶精度格式；若主项随 $ (\Delta x)^{2} $ 变化，则称为空间二阶精度格式，依此类推。因此，示例格式（10.2）在空间和时间上均为一阶精度，见式（10.5）。这意味着，数值格式至少必须具有一阶精度，才可能具有相容性；否则，减小 $ \Delta t $ 与 $ \Delta x $ 不能降低截断误差。

现在的问题是，实际计算中如何评估截断误差。对于包含非线性开关、限制器等的复杂数值格式，Taylor 级数展开显然并不合适。可采用以下误差估计途径 $ [1] $：

• 在其他网格上额外求解：加密或粗化网格，或使用彼此无关联的网格；

• 在同一网格上额外求解：采用更高阶或更低阶精度的离散；

• 在同一网格上求解一个辅助偏微分方程；

• 在同一网格上进行代数计算。

最常用的方法是在一系列单元尺寸不同的网格上求解控制方程。若已知精确解，就能容易地量化每个网格的误差。截断误差下降的速率决定离散格式的精度。例如，各坐标方向的网格尺寸均减半后，若误差降为原来的四分之一，则格式为二阶精度。然而，精确物理解往往未知。此时，可用以下公式估计精度阶数 $ [3] $：

$$ p=\frac{\ln\left(\frac{f_{3}-f_{2}}{f_{2}-f_{1}}\right)}{\ln(r)},\tag{10.6} $$

其中，p 表示精度阶数，r 表示加密或粗化比，f 表示数值解；下标1表示最细网格，下标3表示最粗网格。若各网格之间的粗化比并非常数，则可采用文献 [1] 中更一般的关系式。

改变网格分辨率除了可估计截断误差，还可用于获得所谓的网格收敛解：进一步加密网格后，解的变化保持在某个容差以内。与此相关的工作称为网格收敛性研究。虽然这种研究可能非常耗时，仍建议始终检查所得解是否达到网格收敛。