A.13 张量记号

A.13 张量记号

坐标 $ (x_{i}) $ 或速度分量 $ ( v_{i}) $ 这样的表达式表示一阶张量，具有三个分量，对应矢量。因此，

$$ \begin{aligned}x_{i}&=[x_{1},x_{2},x_{3}]=[x,y,z]=\vec{r},\\ v_{i}&=[ v_{1}, v_{2}, v_{3}]=[u, v,w]=\vec{ v}.\end{aligned}\tag{A.109} $$

二阶张量包含九个分量，可写成 $ 3 \times 3 $ 矩阵，例如

$$ v_{i} v_{j}\equiv\begin{bmatrix} v_{1} v_{1}& v_{1} v_{2}& v_{1} v_{3}\\ v_{2} v_{1}& v_{2} v_{2}& v_{2} v_{3}\\ v_{3} v_{1}& v_{3} v_{2}& v_{3} v_{3}\end{bmatrix}.\tag{A.110} $$

同样，黏性应力张量 $ \overline{\overline{\tau}}=\tau_{ij} $ 为

$$ \tau_{ij}\equiv\begin{bmatrix}\tau_{11}&\tau_{12}&\tau_{13}\\ \tau_{21}&\tau_{22}&\tau_{23}\\ \tau_{31}&\tau_{32}&\tau_{33}\end{bmatrix}.\tag{A.111} $$

Kronecker 符号 $ \delta_{ij} $ 是一种特殊的二阶张量，对应 $ 3\times3 $ 单位矩阵，因此有

$$ \delta_{ij}=\left\{\begin{array}{ll}1&\text{当 }i=j,\\ 0&\text{当 }i\neq j.\end{array}\right.\tag{A.112} $$

最后一个重要规则是 Einstein 求和约定：一个表达式中，若同一指标出现两次，则表示对全部三个坐标方向求和。采用该约定，矢量 $ \vec{u} $ 与 $ \vec{v} $ 的标量积可表示为

$$ u_{i} v_{i}=u_{1} v_{1}+u_{2} v_{2}+u_{3} v_{3}=\vec{u}\cdot\vec{ v}.\tag{A.113} $$

矢量 $ \vec{ v} $ 的散度用张量记号表示为

$$ \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{i}}=\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=\vec{\nabla}\cdot\vec{ v}.\tag{A.114} $$