2.3 黏性应力

2.3 黏性应力

流体与微元表面之间的摩擦所产生的黏性应力，由应力张量 $ \overline{\overline{\tau}} $ 描述。在 笛卡尔（Cartesian）坐标系中，其一般形式为

$$ \overline{\overline{\tau}}=\begin{bmatrix}\tau_{xx}&\tau_{xy}&\tau_{xz}\\ \tau_{y x}&\tau_{yy}&\tau_{y z}\\ \tau_{zx}&\tau_{zy}&\tau_{zz}\end{bmatrix}.\tag{2.14} $$

按约定，记号 $ \tau_{ij} $ 表示：该应力分量作用于垂直于 i 轴的平面，方向沿 j 轴。分量 $ \tau_{xx} $、$ \tau_{yy} $ 和 $ \tau_{zz} $ 表示法向应力，$ \overline{\overline{\tau}} $ 的其他分量则表示剪应力。图 2.3 给出了作用于一个直角六面体流体微元的应力。可以看出，法向应力（图 2.3a）使微元各面趋于沿三个相互垂直的方向发生位移，而剪应力（图 2.3b）则使微元趋于发生剪切变形。

那么，如何计算黏性应力呢？首先，它们取决于介质的动力学性质。对于空气或水这类流体，Newton 指出，剪应力与速度梯度成正比。因此，这类介质称为 Newton 流体。熔融塑料或血液等流体则具有不同的行为，属于非 Newton 流体。对于绝大多数实际问题，流体可视为 Newton 流体，此时黏性应力张量各分量由以下关系定义 $ [3, 4] $：

$$ \begin{aligned}\tau_{xx}&=\lambda\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\right)+2\mu\frac{\partial u}{\partial x},\\\tau_{yy}&=\lambda\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\right)+2\mu\frac{\partial v}{\partial y},\\\tau_{zz}&=\lambda\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\right)+2\mu\frac{\partial w}{\partial z},\\\tau_{xy}&=\tau_{y x}=\mu\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right),\\\tau_{xz}&=\tau_{zx}=\mu\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}\right),\\\tau_{y z}&=\tau_{zy}=\mu\left(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\right)\end{aligned}\tag{2.15} $$

其中，$ \lambda $ 表示第二黏性系数，$ \mu $ 表示动力黏性系数。为方便起见，还可以定义运动黏性系数，其表达式为

$$ \nu=\mu/\rho.\tag{2.16} $$

式（2.15）中的表达式，由英国人 George Stokes 于 19 世纪中期推导得出。法向应力中的 $ \mu(\partial u/\partial x) $ 等项，表示线膨胀率，即形状的变化。另一方面，式（2.15）中的项 $ (\lambda div \vec{v}) $

表示体积膨胀率，即体积的变化率，而其本质是密度的变化。

为使法向应力表达式闭合，Stokes 引入了以下假设 $ [5] $：

$$ \lambda+\frac{2}{3}\mu=0.\tag{2.17} $$

上述关系中的 $ (2.17) $ 称为体积黏度。它表征这样一种性质：当温度均匀的流体以有限速率发生体积变化时，产生能量耗散。

除温度或压力极高的情况外，目前尚无实验证据表明式（2.17）中的 Stokes 假设不成立（见文献 $ [6] $ 中的讨论）。因此，通常用这一假设消去式（2.15）中的 $ \lambda $，从而得到法向黏性应力：

$$ \begin{aligned}\tau_{x x}=2\mu\left(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{1}{3}\operatorname{div}\vec{v}\right),\\\tau_{yy}=2\mu\left(\frac{\partial v}{\partial y}-\frac{1}{3}\operatorname{div}\vec{v}\right),\\\tau_{z z}=2\mu\left(\frac{\partial w}{\partial z}-\frac{1}{3}\operatorname{div}\vec{v}\right).\end{aligned}\tag{2.18} $$

对于不可压缩流体，即密度恒定的流体，由于 $ \vec{v}=0 $（连续性方程），式（2.18）中的法向应力表达式可进一步简化。

现在还需要确定黏性系数 $ \mu $ 和导热系数 k 与流体状态之间的函数关系。在连续介质力学的框架内，只能依据经验假设来完成这一工作。下一节将继续讨论这个问题。