A.8 Navier–Stokes 方程的轴对称形式
A.8 Navier–Stokes 方程的轴对称形式
模拟圆柱形物体绕流或圆柱形腔内流动时，通常可假设流动关于纵轴对称。这意味着没有旋流，且流动量沿周向的导数为零。在这些条件下，可从 Navier–Stokes 方程（2.19）中去掉一个动量方程，控制方程因此由三维降为二维，大幅降低计算量。
$$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{\Omega}\vec{W}\mathrm{d}\Omega+\oint_{\partial\Omega}(\vec{F}_{\mathrm{c}}-\vec{F}_{\mathrm{v}})r\mathrm{d}S=\int_{\Omega}\vec{Q}\mathrm{d}\Omega,\tag{A.56} $$
其中，r 为径向坐标。守恒变量矢量包含四个分量：
$$ \vec{W}=\begin{bmatrix}\rho\\ \rho u\\ \rho v\\ \rho E\end{bmatrix}\tag{A.57} $$
这里，u 与 v 分别为轴向及径向速度分量。对流通量矢量为
$$ \vec{F}_{c}=\begin{bmatrix}\rho V\\ \rho u V+n_{x}p\\ \rho v V+n_{r}p\\ \rho H V\end{bmatrix},\tag{A.58} $$
其中，$ n_{x} $ 为单位法向矢量的轴向分量，$ n_{r} $ 为径向分量，逆变速度为 $ V = n_{x}u + n_{r}v $。黏性通量矢量定义为
$$ \vec{F}_{ v}=\begin{bmatrix}0\\ n_{x}\tau_{xx}+n_{r}\tau_{xr}\\ n_{x}\tau_{rx}+n_{r}\tau_{rr}\\ n_{x}\Theta_{x}+n_{r}\Theta_{r}\end{bmatrix},\tag{A.59} $$
其中，
$$ \begin{aligned}\Theta_{x}&=u\tau_{xx}+ v\tau_{xr}+k\frac{\partial T}{\partial x},\\\Theta_{r}&=u\tau_{rx}+ v\tau_{rr}+k\frac{\partial T}{\partial r}\end{aligned}\tag{A.60} $$
各项描述黏性应力的功及流体中的热传导。最后，源项为
$$ \vec{Q}=\frac{1}{r}\begin{bmatrix}0\\ 0\\ p-\tau_{\theta\theta}\\ 0\end{bmatrix}.\tag{A.61} $$
黏性应力张量的各分量为
$$ \begin{gathered}\tau_{x x}=-\frac{2\mu}{3}\vec{\nabla}\cdot\vec{ v}+2\mu\frac{\partial u}{\partial x}\\\tau_{r r}=-\frac{2\mu}{3}\vec{\nabla}\cdot\vec{ v}+2\mu\frac{\partial v}{\partial r}\\\tau_{\theta\theta}=-\frac{2\mu}{3}\vec{\nabla}\cdot\vec{ v}+2\mu\frac{ v}{r}\\\tau_{xr}=\tau_{rx}=\mu\left(\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)\end{gathered}\tag{A.62} $$
其中，速度散度为
$$ \vec{\nabla}\cdot\vec{ v}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{1}{r}\frac{\partial(r v)}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{ v}{r}.\tag{A.63} $$
对称轴上的边界条件为
$$ \begin{gathered}\rho v=0\\\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial T}{\partial r}=\frac{\partial p}{\partial r}=0.\end{gathered}\tag{A.64} $$
体积 $ \Omega $ 为控制体面积与平均半径 r 的乘积。因此，轴对称方程（A.56）与二维 Navier–Stokes 方程相似，差别在于乘以半径、增加源项 $ (p - \tau_{\theta\theta})/r $，并修改 $ \vec{\nabla} \cdot \vec{ v} $ 的定义。