A.2 Euler 方程的拟线性形式

A.2 Euler 方程的拟线性形式

这种形式有助于理解控制方程的数学性质，也便于发展和分析数值格式。

拟线性形式由控制方程的微分形式（A.4）推导得到。这里仅考虑 Euler 方程，即

$$ \frac{\partial\vec{W}^{*}}{\partial t}+\frac{\partial\vec{F}_{c,1}}{\partial\xi}+\frac{\partial\vec{F}_{c,2}}{\partial\eta}+\frac{\partial\vec{F}_{c,3}}{\partial\zeta}=0,\tag{A.21} $$

其中，$ \vec{W}^{*}=J^{-1}\vec{W} $ 及对流通量 $ \vec{F}_{c,1/2/3} $ 定义于式（A.6）。线性化以守恒变量的空间导数，替换通量的空间导数。例如，

$$ \frac{\partial\vec{F}_{c,1}}{\partial\xi}=\frac{\partial\vec{F}_{c,1}}{\partial\vec{W}}\frac{\partial\vec{W}}{\partial\xi}.\tag{A.22} $$

这样，空间导数便成为守恒变量的线性函数。采用式（A.65）的对流通量 Jacobian 定义，可得 Euler 方程的拟线性形式：

$$ J^{-1}\frac{\partial\vec{W}}{\partial t}+\bar{A}_{c,1}\frac{\partial\vec{W}}{\partial\xi}+\bar{A}_{c,2}\frac{\partial\vec{W}}{\partial\eta}+\bar{A}_{c,3}\frac{\partial\vec{W}}{\partial\zeta}=0.\tag{A.23} $$

Jacobian 矩阵 $ \vec{A}_{c,1} $ 由式（A.68）给出，二维则用式（A.66），并将其中的 $ (n_{x}, n_{y}, n_{z}) $ 替换为 $ J^{-1}(\xi_{x}, \xi_{y}, \xi_{z}) $。对流通量 Jacobian 矩阵 $ \vec{A}_{c,2} $ 与 $ \vec{A}_{c,3} $ 分别根据 $ \eta $ 与 $ \zeta $ 的导数，以类似方式定义。Jacobian 的特征值决定对流模态与声学模态在流动区域中传播的速度和方向，因此也决定显式时间推进格式的时间步长。特征值与特征向量还在迎风空间离散中起重要作用，因为离散模板需要偏向波传播方向。