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12.5 准一维 Euler 求解器

12.5 准一维 Euler 求解器

structured_1d 目录包含求解准一维 Euler 方程的程序，描述喷管或管道中的无黏流动。方程的守恒微分形式为 $ [3] $

$$ \frac{\partial\vec{W}}{\partial t}+\frac{\partial\vec{F_{c}}}{\partial x}=\vec{Q}.\tag{12.3} $$

守恒变量、对流通量及源项的矢量分别为

$$ \vec{W}=\begin{bmatrix}\rho A\\ \rho u A\\ \rho E A\end{bmatrix},\quad\vec{F}_{\mathrm{c}}=\begin{bmatrix}\rho u A\\ (\rho u^{2}+p)A\\ \rho H u A\end{bmatrix},\quad\vec{Q}=\begin{bmatrix}0\\ p\mathrm{d}A/\mathrm{d}x\\ 0\end{bmatrix},\tag{12.4} $$

其中，A 表示喷管截面积，总焓 H 由式（2.12）给出；根据式（2.29），压力为

$$ p=\left(\gamma-1\right)\rho\left(E-\frac{u^{2}}{2}\right).\tag{12.5} $$

控制方程（12.3）在结构网格上采用对偶控制体方法离散，见4.2.3节。图12.1展示网格与控制体。空间离散采用以下三种格式：

  • 带标量人工耗散的中心格式，见4.3.1节；

  • CUSP 通量矢量分裂格式，见4.3.2节；

  • Roe 通量差分分裂格式，见4.3.3节。

离散方程 $ (12.3) $ 采用显式多级格式沿时间推进，见6.1.1或6.1.2节。程序采用局部时间推进（9.1节）及中心隐式残差光顺（9.3.1节）加速收敛。源代码位于 src 子目录，输入文件与结果位于 run 子目录。

求解器的第二个版本采用9.4节的多重网格方法加速收敛，其空间与时间离散格式与上述版本相同。多重网格格式在粗网格上采用全近似存储（FAS）形式求解，并利用完全多重网格（FMG）初始化最细网格流场。源代码位于 srcmg 子目录，输入示例位于 runmg 子目录。

入口与出口平面的边界条件，按8.4节以特征变量实现，并采用8.1节的虚拟点概念，见图12.1。

12.5.1 运行示例

作为测试算例，考虑入口面积为 $ A_{1}=1.5 $、出口面积为 $ A_{2}=2.5 $ 的 Laval 喷管内流动，边界条件如下：

  • 入口总压 $ p_{t,in} = 1.0 \times 10^{5} $ Pa；

  • 入口总温 $ T_{t,in} = 288.0 K $；

  • 出口静压 $p_{\mathrm{out}}=7.0\times10^4\,\mathrm{Pa}$。

模拟采用 Roe 迎风空间离散及五级网格的多重网格方法，参数为 $ \sigma = 4.5 $、$ \epsilon = 0.8 $，限制器系数 K=1.5，熵修正系数 $ \delta = 0.05 \cdot c $。

算例网格可用12.2节的程序生成，也以 laval.grd 文件提供于 runmg 子目录。流动求解器还需要各种参数，设置边界条件、数值格式、收敛历程及绘图文件输出；这些数据位于用户输入文件 input_r。假设求解器源代码已编译，详情见 README.txt，则打开终端窗口（Windows 中为命令提示符），进入 runmg，输入以下命令即可开始模拟：

eul1dmg < input_r

计算产生图12.2的收敛历程，图12.3展示沿喷管长度的马赫数分布。

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