2.2 守恒定律

2.2 守恒定律

2.2.1 连续性方程

若只考虑单相流体，质量守恒定律表达的是：在这样的流体系统中，质量既不能产生，也不能消失。连续性方程中也不存在扩散通量的贡献，因为对于静止流体，任何质量变化都意味着流体粒子发生位移。

为推导连续性方程，考虑图 2.1 所示的、固定在空间中的有限控制体模型。在控制面上的某一点，流动速度为 $ \vec{v} $，单位法向量为 $ \vec{n} $，dS 表示一个微小面元的面积。此时的守恒量是密度 $ \rho $。有限体积 $ \Omega $ 内总质量对时间的变化率为

$$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{\Omega}\rho\mathrm{d}\Omega. $$

流体通过某个固定在空间中的表面的质量流量，等于密度、表面积和垂直于该表面的速度分量三者的乘积。因此，穿过每个面元 dS 的对流通量贡献为

$$ \rho(\vec{v}\cdot\vec{n})\mathrm{d}S. $$

按约定，$ \vec{n} $ 始终指向控制体外侧。因此，当乘积 $ (\vec{v} \cdot \vec{n}) $ 为负时，表示流入；当其为正时，表示流出，即质量离开控制体。

如前所述，此处不存在体积源项或表面源项。因此，根据式（2.1）的一般表述，可以写出

$$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{\Omega}\rho\mathrm{d}\Omega+\oint_{\partial\Omega}\rho(\vec{v}\cdot\vec{n})\mathrm{d}S=0.\tag{2.3} $$

这就是连续性方程，也就是质量守恒定律的积分形式。

2.2.2 动量方程

推导动量方程时，可先回顾 Newton 第二定律的一个具体表述：质量微元的动量变化，由作用于该微元的合力引起。对于控制体 $ \Omega $ 内一个无穷小部分（见图 2.1），其动量为

$$ \rho\vec{v}\mathrm{d}\Omega. $$

控制体内动量随时间的变化率为

$$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{\Omega}\rho\vec{v}\mathrm{d}\Omega. $$

因此，此处的守恒量是密度与速度的乘积，即

$$ \rho\vec{v}=\left[\rho u,\rho v,\rho w\right]^{\mathrm{T}}. $$

描述动量穿过控制体边界输运的对流通量张量，在 笛卡尔（Cartesian）坐标系中包含以下三个分量：

$$ \begin{aligned}\text{x 分量}:&\quad\rho u\vec{v}\\\text{y 分量}:&\quad\rho v\vec{v}\\\text{z 分量}:&\quad\rho w\vec{v}.\end{aligned} $$

对流通量张量对动量守恒的贡献为

$$ -\oint_{\partial\Omega}\rho\vec{v}(\vec{v}\cdot\vec{n})\mathrm{d}S. $$

对于静止流体，不可能发生动量扩散，因此扩散通量为零。剩下需要回答的问题是：流体微元受到哪些力的作用？作用于控制体的力可分为两类：

1. 外部体积力，或称体力，直接作用于控制体内的质量。例如重力、浮力、Coriolis 力和离心力；某些情况下还可能存在电磁力。

2. 表面力，直接作用于控制体的表面，仅来自以下两个来源：

（a）控制体周围流体施加的压力分布；

（b）流体与控制体表面之间的摩擦所产生的剪应力和法向应力。

由此可知，单位体积的体力，以下记为 $ \rho\vec{f}_{e} $，对应于式（2.2）中的体积源项。因此，体力，即外力，对动量守恒的贡献为

$$ \int_{\Omega}\rho\vec{f}_{e}\mathrm{d}\Omega. $$

表面源项由两部分组成：各向同性的压力分量和黏性应力张量 $ \overline{\overline{\tau}} $，即

$$ \overline{\overline{Q}}_{S}=-p\overline{\overline{I}}+\overline{\overline{\tau}}\tag{2.4} $$

其中，$ \overline{\overline{I}} $ 是单位张量（有关张量的说明，可参见文献 [2]）。图 2.2 示意了表面源项对控制体的作用。第 2.3 节将更详细地讨论应力张量的形式，尤其是说明法向应力和剪应力如何与流动速度联系起来。

根据一般守恒定律，即式（2.2），将上述各项贡献相加，最终得到

$$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{\Omega}\rho\vec{v}\mathrm{d}\Omega+\oint_{\partial\Omega}\rho\vec{v}(\vec{v}\cdot\vec{n})\mathrm{d}S=\int_{\Omega}\rho\vec{f}_{e}\mathrm{d}\Omega-\oint_{\partial\Omega}p\vec{n}\mathrm{d}S+\oint_{\partial\Omega}(\overline{\overline{\tau}}\cdot\vec{n})\mathrm{d}S\tag{2.5} $$

这一表达式描述了固定在空间中的任意控制体 $ \Omega $ 内的动量守恒。

2.2.3 能量方程

推导能量方程所依据的基本原理是热力学第一定律。将其应用于图 2.1 所示的控制体，可表述为：控制体内总能量随时间的任何变化，均由作用于控制体的力的做功速率，以及进入控制体的净热通量引起。流体的单位质量总能量 E，等于单位质量内能 e 与单位质量动能 $ |\vec{v}|^{2}/2 $ 之和。因此，总能量可写为

$$ E=e+\frac{|\vec{v}|^{2}}{2}=e+\frac{u^{2}+ v^{2}+w^{2}}{2}.\tag{2.6} $$

此时的守恒量是单位体积的总能量，即 $ \rho E $。它在体积 $ \Omega $ 内随时间的变化率可表示为

$$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{\Omega}\rho E\mathrm{d}\Omega. $$

根据推导一般守恒定律，即式（2.1）时的讨论，可以直接写出对流通量的贡献：

$$ -\oint_{\partial\Omega}\rho E(\vec{v}\cdot\vec{n})\mathrm{d}S. $$

与连续性方程和动量方程不同，此处存在扩散通量。如前所述，按照 Fick 定律，它与单位质量守恒量的梯度成正比。由于扩散通量 $ \vec{F}_{D} $ 是针对静止流体定义的，因此仅内能起作用，从而得到

$$ \vec{F}_{\mathrm{D}}=-\gamma\rho\kappa\nabla e,\tag{2.7} $$

其中，$ \gamma = c_{p}/c_{v} $ 是比热比，$ \kappa $ 为热扩散系数。扩散通量构成了进入控制体的热通量的一部分，即分子导热引起的热扩散，也就是温度梯度引起的传热。因此，式（2.7）通常写成 Fourier 导热定律的形式，即

$$ \vec{F}_{\mathrm{D}}=-k\nabla T\tag{2.8} $$

其中，k 为导热系数，T 为绝对静温。

进入有限控制体的净热通量的另一部分，是由辐射的吸收或发射，或化学反应引起的体积加热。将热源，即单位质量的热量传递速率，记为 $ \dot{q}_{h} $。它与推导动量方程时引入的体力 $ \vec{f}_{e} $ 的做功速率一起，构成完整的体积源项。

$$ Q_{V}=\rho\vec{f_{e}}\cdot\vec{v}+\dot{q}_{h}.\tag{2.9} $$

能量守恒中最后一项尚待确定的贡献，是表面源项 $ Q_{S} $。它对应于压力、剪应力和法向应力对流体微元所做功的时间变化率（见图 2.2），即

$$ \vec{Q}_{S}=-p\vec{v}+\overline{{\overline{{\tau}}}}\cdot\vec{v}.\tag{2.10} $$

整理上述各项贡献和项，得到以下能量守恒方程：

$$ \begin{aligned}\frac{\partial}{\partial t}\int_{\Omega}\rho E\mathrm{d}\Omega+\oint_{\partial\Omega}\rho E(\vec{v}\cdot\vec{n})\mathrm{d}S=&\oint_{\partial\Omega}k(\nabla T\cdot\vec{n})\mathrm{d}S+\int_{\Omega}\left(\rho\vec{f_{e}}\cdot\vec{v}+\dot{q}_{h}\right)\mathrm{d}\Omega\\&-\oint_{\partial\Omega}p(\vec{v}\cdot\vec{n})\mathrm{d}S+\oint_{\partial\Omega}(\overline{\overline{\tau}}\cdot\vec{v})\cdot\vec{n}\mathrm{d}S.\end{aligned}\tag{2.11} $$

能量方程 $ (2.11) $ 通常写成一种稍有不同的形式。为此，利用总焓、总能量和压力之间的一般关系：

$$ H=h+\frac{|\vec{v}|^{2}}{2}=E+\frac{p}{\rho}.\tag{2.12} $$

在能量守恒定律（2.11）中，将对流项 $ (\rho E\vec{v}) $ 与压力项 $ (p\vec{v}) $ 合并，并应用式（2.12），就可将能量方程写成以下最终形式：

$$ \begin{aligned}\frac{\partial}{\partial t}\int_{\Omega}\rho E\mathrm{d}\Omega+\oint_{\partial\Omega}\rho H(\vec{v}\cdot\vec{n})\mathrm{d}S=&\oint_{\partial\Omega}k(\nabla T\cdot\vec{n})\mathrm{d}S\\&+\int_{\Omega}\left(\rho\vec{f_{e}}\cdot\vec{v}+\dot{q}_{h}\right)\mathrm{d}\Omega+\oint_{\partial\Omega}(\overline{\overline{\tau}}\cdot\vec{v})\cdot\vec{n}\mathrm{d}S.\end{aligned}\tag{2.13} $$

至此，我们已推导出三大守恒定律的积分形式：质量守恒 $ (2.3) $、动量守恒 $ (2.5) $ 和能量守恒 $ (2.13) $。下一节将进一步详细讨论法向应力与剪应力的表达式。