A.3 控制方程的数学类型
A.3 控制方程的数学类型
偏微分方程（PDE）的数学类型，可用经典的二阶拟线性方程说明：
$$ a\frac{\partial^{2}U}{\partial x^{2}}+b\frac{\partial^{2}U}{\partial x\partial y}+c\frac{\partial^{2}U}{\partial y^{2}}=d,\tag{A.24} $$
其中，U 为一般标量函数。系数 a、b、c、d 可以是坐标、U 及 U 的一阶导数的非线性函数，但不能依赖 U 的二阶导数。按判别式 $ (b^{2}-4ac) $ 的符号，可将偏微分方程分为三类 [1,2]：判别式为正时为双曲型；$ (b^{2}-4ac)<0 $ 时为椭圆型；$ (b^{2}-4ac) $ 为零时为抛物型。
A.3.1 双曲型方程
若式（A.24）为双曲型，则有两条实特征线，见图A.3。理论表明，点 P 的信息仅影响向前传播的特征线之间的区域；反过来，P 也只接收特征线 AP 与 BP 之间区域的信息。此外，P 处的解只依赖穿过 P 的两条特征线所截取并包围的边界部分，即区间 AB。例如，P 不接收 C 的信息，因为 P 不在从 C 传播的特征线所包围的范围内。因此，只需在部分边界上指定条件，即可确定某个区域的解。因此，双曲型方程构成初值问题。
流体动力学中，以下流动由双曲型偏微分方程控制：
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定常无黏超声速流动。二维情况下，其行为与上述讨论相同；三维情况下，$ (x, y, z) $ 空间中存在特征曲面，P 点影响向前、即下游传播的特征曲面包围的体积。对于线性化势流方程，该特征曲面对应马赫锥。
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非定常流动。此时控制方程在时间上为双曲型，但空间上可具有不同类型。因此，流动当地为亚声速还是超声速并不影响其时间双曲性。由于具有部分双曲性质，必须指定初始解，再沿时间推进。
A.3.2 抛物型方程
此时，式（A.24）只有一条实特征线。图A.4展示特征线及其影响域。点 P 的信息影响特征线一侧的整个区域，图中为 BP 一侧，因此也影响 C 与 D；而 A 点的解完全不依赖 P。因此，与双曲型方程一样，信息仅沿一个方向传递。此外，例如 D 点的解，既依赖整条特征线 BP 上的条件，也依赖边界线段 BC 上的条件。因此，抛物型方程构成初值与边值混合问题。
简化控制方程的一种特定形式，即抛物化 Navier–Stokes（PNS）方程，见2.4.3节，具有上述抛物型行为。此时，控制方程中包含流向导数的黏性应力项被忽略。求解 PNS 方程时，从入口边界上指定的初始数据出发，沿下游方向逐步推进。每个流向站位为垂直主流方向的平面，二维则为直线，并与一个或两个上游平面显式耦合。在每个平面内，需要迭代求解方程。
对于高 Reynolds 数，进一步简化 Navier–Stokes 方程，可得到熟知的边界层方程。它同样为抛物型，可采用类似的显式空间推进过程求解。
A.3.3 椭圆型方程
若式（A.24）为椭圆型，则具有两条复特征线。理论表明，某个点 P 的信息影响区域内所有其他部分；反过来，P 处的解也依赖整个周围区域，见图A.5。这意味着，P 点受到完整闭合边界 $ (A, B, C) $ 的影响。因此，椭圆型方程构成边值问题，P 处的解必须与区域内其他所有点的解同时求取。这与抛物型、双曲型方程的空间或时间推进过程显著不同。对于图A.5，必须在整个边界 $ (A, B, C) $ 上指定边界条件，可采用以下两种形式：
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沿边界指定因变量，称为 Dirichlet 条件。
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沿边界指定因变量的导数，称为 Neumann 条件。
例如，定常亚声速／不可压缩无黏流动由椭圆型方程控制。因此，这类流动的物理边界条件，必须施加于完全包围所模拟流场的表面。