10.3 von Neumann 稳定性分析

10.3 von Neumann 稳定性分析

在实现新的离散方法之前，至少应大致了解它对数值格式稳定性与收敛行为的影响。已有大量实践证实，von Neumann 稳定性分析能够可靠地评估求解格式的性质。该方法在第二次世界大战期间于洛斯阿拉莫斯发展起来，但最早的简要描述由 Crank 和 Nicolson 于1947年给出 $ [4] $，后来又发表于文献 $ [5] $。文献 $ [6] $ 提供了很有帮助的入门介绍。

von Neumann 稳定性分析适用于采用周期边界条件的离散线性偏微分方程。它将解分解为 Fourier 级数，一方面可研究求解格式的稳定性，另一方面可详细考察解在整个频谱上的行为。这对评估格式的收敛性质和稳健性具有根本意义，因为解误差的各个分量，即 Fourier 模态，都应尽快减小或衰减。因此，这里讨论的是求解格式的阻尼性能。

由于 von Neumann 分析仅适用于线性问题，必须用适当的模型方程替代 Euler 方程或 Navier–Stokes 方程。下面将介绍两个常用的一维模型问题：第一个描述扰动的纯对流，模拟 Euler 方程的行为；第二个额外包含扩散项，以模拟 Navier–Stokes 方程的行为。

10.3.1 Fourier 符号与放大因子

在讨论模型问题之前，先考察一般一维标量线性方程的 von Neumann 分析。对通量作空间离散后，得到关于时间的常微分方程组，参见式（4.3）：

$$ \Delta t\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}U_{i}\right)=-\frac{\Delta t}{\Delta x}R_{i},\tag{10.7} $$

其中，$ U_{i} $ 表示点 i 处的标量变量，$ R_{i} $ 表示残差，$ \Delta x $ 表示网格尺寸。假设采用周期边界条件，可将式（10.7）的解 U 展开为有限 Fourier 级数 [6–8]：

$$ U_{i}=\sum_{k=-N}^{N}\hat{U}_{k}\mathrm{e}^{I p_{k}(i\Delta x)}\tag{10.8} $$

其中，点编号 i 从0取到 $ N\left(x_{i}=i\Delta x\right) $，$ p_{k} $ 为波数，I 为虚数单位。由于模型方程是线性的，只需考察单个第 l 个 Fourier 模态，即

$$ \hat{U}\mathrm{e}^{I p_{l}(i\Delta x)}\tag{10.9} $$

因为通过叠加即可得到整体影响。将 Fourier 模态（10.9）代入离散模型方程（10.7），得到

$$ \Delta t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\hat{U}\mathrm{e}^{I p_{l}(i\Delta x)}\right)=-\frac{\Delta t}{\Delta x}R_{i}=-\frac{\Delta t}{\Delta x}z\hat{U}\mathrm{e}^{I i\Phi}\tag{10.10} $$

其中，相位角定义为 $ \Phi = p_{l}\Delta x $。式（10.10）的复函数 z 为空间算子的 Fourier 符号；其形式取决于离散类型（中心或迎风）及精度阶数。

用显式或隐式时间推进格式求解式（10.7）时，若任意谐波（$ \hat{U} $）的振幅都不随时间增长，则格式线性稳定。这意味着新解的振幅不得大于前一时刻解的振幅。因此，将放大因子定义为

$$ g=\frac{\hat{U}^{n+1}}{\hat{U}^{n}}.\tag{10.11} $$

引入时间推进算子 f 后，放大因子可写成一般形式

$$ g=1-f z.\tag{10.12} $$

当 $ |g| \leq 1 $ 时，时间推进格式线性稳定。若空间离散与时间离散相互分离，即采用线法，则稳定域取决于时间推进格式 f，而与空间离散 z 无关。对于所有相位角 $ \Phi $，空间算子的 Fourier 符号 z 都必须位于稳定域内。当 $ |g| $ 明显小于1时，称格式具有良好的阻尼性能，即数值解的扰动随时间迅速衰减。因此，与 $ |g| \to 1 $ 的情形相比，时间推进格式能更快地收敛到定常解。

10.3.2 对流模型方程

此时，标量线性模型方程为

$$ \frac{\partial U}{\partial t}+\Lambda\frac{\partial U}{\partial x}=0.\tag{10.13} $$

假设对流速度 $ \Lambda $，亦即特征值，为正常数。下面考察应用于式（10.7）的不同空间离散格式及其相应的 Fourier 符号。

带人工耗散的中心格式

根据式（4.48）—（4.50），式（10.7）的残差 $ R_{i} $ 为

$$ R_{i}=\frac{\Lambda}{2}(U_{i+1}-U_{i-1})+\Lambda\epsilon^{(4)}(U_{i+2}-4U_{i+1}+6U_{i}-4U_{i-1}+U_{i-2})\tag{10.14} $$

其中，$ \epsilon^{(4)} $ 表示耗散系数。为简化分析，式（10.14）仅保留四阶差分。按式（10.10），将谐波（10.9）代入式（10.14），即可得到空间算子的 Fourier 符号：

$$ z=\Lambda\left[I\sin\Phi+4\epsilon^{(4)}(1-\cos\Phi)^{2}\right].\tag{10.15} $$

迎风格式

采用一阶迎风格式（见式（4.46））时，残差 $ R_{i} $ 为

$$ R_{i}=\Lambda(U_{i}-U_{i-1})\tag{10.16} $$

其对应的 Fourier 符号为

$$ z=\Lambda\left[I\sin\Phi+(1-\cos\Phi)\right].\tag{10.17} $$

对于二阶迎风空间离散，式（10.7）的残差为

$$ R_{i}=\frac{\Lambda}{2}(3U_{i}-4U_{i-1}+U_{i-2}).\tag{10.18} $$

相应的空间算子 Fourier 符号 z 为

$$ z=\Lambda\left[I\sin\Phi\left(2-\cos\Phi\right)+\left(1-\cos\Phi\right)^{2}\right].\tag{10.19} $$

10.3.3 对流—扩散模型方程

对流与扩散相结合的模型方程可写为

$$ \frac{\partial U}{\partial t}+\Lambda\frac{\partial U}{\partial x}=\nu\frac{\partial^{2}U}{\partial x^{2}},\tag{10.20} $$

其中，$ \nu $ 表示黏性系数。扩散项 $ \partial^{2}U/\partial x^{2} $ 通常采用二阶中心差分近似，因此有

$$ \nu\frac{\partial^{2}U}{\partial x^{2}}\approx\frac{\Lambda_{v}}{\Delta x}(U_{i+1}-2U_{i}+U_{i-1})\tag{10.21} $$

其中，

$$ \Lambda_{v}=\frac{\nu}{\Delta x}\tag{10.22} $$

为黏性特征值。

空间算子的 Fourier 符号现在由对流部分和扩散部分组成，即

$$ z=z_{c}-z_{v},\tag{10.23} $$

其中，

$$ z_{v}=2\Lambda_{v}(\cos\Phi-1)\tag{10.24} $$

而 $ z_{c} $ 对应式（10.15）、（10.17）或（10.19）给出的某一种形式。

由式（10.24）可知，扩散项只改变 Fourier 符号的实部。这是任何扩散或人工耗散的典型特征，参见式（10.15）。此外，由式（10.17）或（10.19）可见，对流项的迎风离散也使 Fourier 符号产生实部 $ (1 - \cos \Phi) $，因此称之为迎风耗散。只有对流项的中心离散不引入数值耗散，此时 Fourier 符号为 $ (I \sin \Phi) $。但是，中心格式会允许解出现不希望有的奇偶解耦。

10.3.4 显式时间推进

将 m 级显式时间推进格式应用于离散模型问题（10.7），可表示如下，见6.1.1节：

$$ \begin{aligned}U_{i}^{(0)}&=U_{i}^{n},\\U_{i}^{(k)}&=U_{i}^{(0)}-\alpha_{k}\frac{\Delta t}{\Delta x}R_{i}^{(k-1)},\quad k=1,\ldots,m,\\U_{i}^{n+1}&=U_{i}^{(m)},\end{aligned}\tag{10.25} $$

其中，$ \alpha_{k} $ 表示各级系数。若用式（10.8）的 Fourier 表示替换变量 U，并用 Fourier 符号 z 替换残差，则式（10.25）变为

$$ \begin{aligned}\hat{U}^{(0)}&=\hat{U}^{n},\\\hat{U}^{(k)}&=\hat{U}^{(0)}-\alpha_{k}\frac{\Delta t}{\Delta x}z\hat{U}^{(k-1)},\quad k=1,\cdots,m,\\\hat{U}^{n+1}&=\hat{U}^{(m)}.\end{aligned}\tag{10.26} $$

上述 m 级显式格式的放大因子由式（10.12）给出。根据式（10.26），可以证明时间推进算子 f 的 Fourier 符号具有以下形式 [9]：

$$ \begin{aligned}f&=\frac{\Delta t}{\Delta x}\Bigg[\alpha_{m}-\alpha_{m-1}\alpha_{m}\left(\frac{\Delta t}{\Delta x}z\right)\\&+\cdots-(-1)^{m}\alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{m}\left(\frac{\Delta t}{\Delta x}z\right)^{m-1}\Bigg],\end{aligned}\tag{10.27} $$

条件是每一级都计算 z 的对流部分和耗散部分，即所谓的 $ (m, m) $ 格式。对于6.1.2节的混合多级格式，f 的推导更加复杂。对于 $ (5,3) $ 格式（式（6.7）），时间推进算子的 Fourier 符号为 [10]

$$ \begin{aligned}f=&\frac{\Delta t}{\Delta x}\{\alpha_{5}-\alpha_{5}\alpha_{4}(z_{I}+\beta_{5}z_{R})(1-\alpha_{3}z_{I})\\&-\alpha_{5}\alpha_{4}\alpha_{2}(1-\alpha_{1}z_{I})(z_{I}+\beta_{5}z_{R})\left[\alpha_{3}(z_{I}+\beta_{3}z_{R})z_{I}-\beta_{3}z_{R}\right]\\&-\alpha_{5}\alpha_{2}(1-\beta_{5})\beta_{3}(1-\alpha_{1}z_{I})z_{R}\}\end{aligned}\tag{10.28} $$

其中，

$$ z_{R}=\frac{\Delta t}{\Delta x}\operatorname{Re}(z)\quad\text{且}\quad z_{I}=\frac{\Delta t}{\Delta x}\operatorname{Im}(z)\tag{10.29} $$

分别表示 z 的实部和虚部。各级系数 $ \alpha_{k} $ 与混合系数 $ \beta_{k} $ 列于表6.2。

时间步长 $ \Delta t $ 可借助 Courant–Friedrichs–Lewy（CFL）条件确定 [11]。对于对流模型方程（10.13），可得到以下公式：

$$ \Delta t=\sigma\frac{\Delta x}{\left|\Lambda\right|}.\tag{10.30} $$

式（10.30）的参数 $ \sigma $ 表示 CFL 数，其大小取决于时间推进格式的类型和各级系数。式（10.30）的推导见10.3.6节。对于对流—扩散模型方程（10.20），时间步长满足

$$ \Delta t=\sigma\frac{\Delta x}{\left|\Lambda\right|+C\Lambda_{v}}\tag{10.31} $$

上述关系。式（10.31）的因子 C 随空间离散而变化。对于中心格式（10.15），C=4 时具有良好的阻尼性能；对于一阶迎风格式（10.17），C=2 可保证 $ z = z_{c} - z_{v} $（式（10.23））的 Fourier 符号受到 $ z_{c} $ 的界限约束。实际上，含扩散项的 Fourier 符号与 $ z_{c} $ 的 Fourier 符号在 $ \Phi = \pi $ 时相同，且与比值 $ \Lambda_{v}/|\Lambda| $ 无关。对于二阶迎风格式（10.19），若令 C=1，也有同样的情况。

Fourier 符号与放大因子的示例

下面考察 von Neumann 稳定性分析在对流模型及对流—扩散模型中的若干应用。图10.1左侧绘出空间算子 z 的 Fourier 符号轨迹（粗线），以及放大因子模 $ |g| $ 的等值线。稳定域边界由 $ |g| = 1 $ 表示。右侧绘出 $ |g| $ 随相位角 $ \Phi $ 的变化，以便评估阻尼性能。

图10.1给出对流模型方程采用迎风离散时的 Fourier 符号与阻尼情况。两种空间格式均采用具有优化系数的三级时间推进格式，见表6.1。图10.1a、b展示一阶迎风格式（10.16）的行为。可见，Fourier 符号的轨迹经过 $ |g| $ 的全部三个极小值区域，即等值线图中的三个小圆形区域。这使相位角 $ \Phi \geq \pi/2 $ 对应的放大因子模很小，对实现高效多重网格尤为重要，因为粗网格上的 $ \Phi \geq \pi/2 $ 对应细网格上的 $ \Phi < \pi/2 $。还可看到，$ \Phi < \pi/2 $ 时阻尼性能较差。这是多级格式的典型特征，解释了其渐近收敛速率较低的原因；多重网格是改善这一问题的最佳途径。需要注意，$ 0 \leq \Phi \leq \pi $ 范围对应左图轨迹的前半部分。

图10.1b展示 CFL 数 $ \sigma $ 增加过大时的情况。正如预期，Fourier 符号的轨迹越过稳定边界，因而 g 的模大于1（虚线）。这意味着，相应相位角或频率对应的解误差会被放大，这样的时间推进格式显然将发散。图10.1c展示二阶迎风格式（10.18）的性质，其基本行为与一阶迎风格式相似。

图10.2接着给出混合 $ (5,3) $ 格式（6.1.2节）应用于对流模型方程（10.13）时，Fourier 符号的轨迹与阻尼性能。空间离散采用带人工耗散的中心格式（式（10.14））。为说明耗散系数 $ \epsilon^{(4)} $ 的影响，将其取值从1/16（图10.2a）降至1/256（图10.2c）。结果表明，随着人工耗散减小，轨迹沿实轴方向收缩，这是式（10.15）中 $ (1 - \cos \Phi)^{2} $ 项减小所致。更重要的是，人工耗散降低会使阻尼性能变差。实际计算中，这意味着降低耗散水平会损害格式的收敛速度和稳健性。

接下来考察混合 $ (5,3) $ 格式求解对流—扩散方程 $ (10.20) $ 时的性质。首先，将该格式与一阶迎风空间离散式 $ (10.16) $ 结合。图10.3比较 $ \Lambda_{v}=0 $（纯对流）与 $ \Lambda_{v}/\Lambda=2 $（虚线）两种情况。由于扩散项 $ z_{v} $ 仅具有实部，其影响使 Fourier 符号轨迹沿虚轴方向收缩。若按式 $ (10.31) $ 并取 C=2 计算时间步长，Fourier 符号在实轴方向的范围保持不变。格式的阻尼性能仍与纯对流时大致处于相同的良好水平。这是因为，$ |g| $ 在 $ z_{c} $ 轨迹包围的区域内具有经过优化的平坦极小值，参见图10.3右侧。

图10.4展示混合 $ (5,3) $ 格式采用中心离散（式（10.14））时的行为。耗散系数设为 $ \epsilon^{(4)} = 1/64 $，特征值比设为 $ \Lambda_{v}/\Lambda = 2 $。可见，与对流方程相比，Fourier 符号轨迹的形状完全改变。在 $ \Lambda_{v} \to \infty $ 的极限情形下，轨迹会退化成一条线。因此，必须优化时间推进格式，使 $ |g| $ 沿实轴具有较浅的极小值。此处时间步长按式（10.31）、取 C=4 计算。

更多 von Neumann 稳定性分析示例见文献 $ [9, 12–18] $。随附源代码还提供了一个用于分析显式多级格式稳定性的程序，其中包含隐式残差光顺。

10.3.5 隐式时间推进

根据6.2节的式（6.28），用于积分模型方程的一般隐式格式可表示为

$$ \left[\frac{\Delta x}{\Delta t}+\beta\left(\frac{\partial R}{\partial U}\right)_{i}\right]\Delta U^{n}=-R_{i}^{n}.\tag{10.32} $$

可将通量 Jacobian $ \partial R/\partial U $ 写成两个差分算子之和，分别对应式（10.20）的对流项与扩散项，即

$$ \left\{\frac{\Delta x}{\Delta t}+\beta\left[(D_{x}^{I})_{c}-(D_{x}^{I})_{v}\right]_{i}\right\}\Delta U^{n}=-R_{i}^{n}.\tag{10.33} $$

对流差分算子可采用多种形式。例如，对于带人工耗散的中心格式，它为（参见式（6.47））

$$ (D_{x}^{I})_{c}\Delta U^{n}=\frac{\Lambda}{2}(\Delta U_{i+1}^{n}-\Delta U_{i-1}^{n})+\Lambda\epsilon^{I}(\Delta U_{i+1}^{n}-2\Delta U_{i}^{n}+\Delta U_{i-1}^{n}),\tag{10.34} $$

其中，$ \epsilon^{I} $ 为隐式耗散系数。这里不包含四阶差分，因为其计算量大，在实践中很少采用。隐式算子采用一阶或二阶迎风格式时，分别得到

$$ (D_{x}^{I})_{c}\Delta U^{n}=\Lambda(\Delta U_{i}^{n}-\Delta U_{i-1}^{n}),\tag{10.35} $$

或

$$ (D_{x}^{I})_{c}\Delta U^{n}=\frac{\Lambda}{2}(3\Delta U_{i}^{n}-4\Delta U_{i-1}^{n})+\Delta U_{i-2}^{n}),\tag{10.36} $$

上述表达式。扩散差分算子通常采用中心型：

$$ (D_{x}^{I})_{v}\Delta U^{n}=\frac{\Lambda_{v}}{2}(\Delta U_{i+1}^{n}-2\Delta U_{i}^{n}+\Delta U_{i-1}^{n}).\tag{10.37} $$

校注：原书式（10.34）的人工耗散项采用正号，而式（10.33）按残差 Jacobian 形式应核对为负号；式（10.36）原书将 $\Lambda/2$ 仅乘前两项并多写一个右括号，与式（10.18）不一致；式（10.37）含系数 $\Lambda_v/2$，按式（10.21）、（10.22）的定义应核对为 $\Lambda_v$。上述原书印刷形式均予保留，实施时须结合残差定义校核。

显式算子的离散可采用式（10.14）、（10.16）或（10.18）中的一种。

将 Fourier 模态（10.9）代入隐式格式（10.33），得到

$$ \left[\frac{\Delta x}{\Delta t}+\beta z^{I}\right]\Delta\hat{U}^{n}=-z^{E}\hat{U}^{n},\tag{10.38} $$

其中，$ z^{I}=z_{c}^{I}-z_{v}^{I} $ 表示通量 Jacobian 的 Fourier 符号，$ z^{E}=z_{c}^{E}-z_{v}^{E} $ 表示显式算子的 Fourier 符号。这些 Fourier 符号的形式与10.3.2节和10.3.3节推导的形式相同。由式（10.12），放大因子为

$$ g=1-\frac{z^{E}}{\left[\frac{\Delta x}{\Delta t}+\beta z^{I}\right]}.\tag{10.39} $$

因此，时间推进算子的 Fourier 符号为 $ f = 1/[\ldots] $。观察式（10.39）可见，当 $ \Delta t \to \infty $、$ \beta = 1 $ 和 $ z^{I} = z^{E} $ 时，放大因子在相位角 $ \Phi > 0 $ 处为零。若通量 Jacobian 精确，Newton 格式（见6.2.5节）就会出现这一情况，这解释了精确 Newton 方法为何收敛非常迅速。

放大因子的示例

下面考察若干隐式格式，在显式与隐式算子采用不同离散方式时的阻尼性能。更深入的讨论见文献 $ ^{[19]} $，其中包含常用 LU-SGS 格式在二维单网格及多重网格情况下的 von Neumann 分析。随附源代码也提供了一个分析隐式格式的程序。

第一个例子中，显式算子（式（10.14））与隐式算子（式（10.34））均采用中心空间离散，类似6.2.3节介绍的标准 ADI 格式。这里考察隐式算子的参数设置对放大因子的影响。图10.5比较三个典型结果。第一条曲线（实线）采用 $ \beta = 1 $ 和 $ \epsilon^{I} = 1/20 $。$ \epsilon^{I} $ 的取值使 $ |g| = 0 $ 在 $ \Phi = \pi $ 时成立。可用以下公式计算 $ \epsilon^{I} $：

$$ \epsilon^{I}=\frac{1}{\beta}\left(4\epsilon^{(4)}-\frac{\Delta x}{4|\Lambda|\Delta t}\right).\tag{10.40} $$

第二条曲线（虚线）表明，隐式算子必须包含人工耗散。当 $ \epsilon^{I}=0 $ 时，格式在高频 $ (\Phi\to\pi) $ 处失稳。最后一条曲线（点划线）给出 $ \beta=1/2 $ 时，即时间二阶精度情况下 g 的模。可见，其阻尼性能远逊于 $ \beta=1 $ 的情形，因此应优先采用后者的取值。对于非定常流动，6.3.2节介绍的双时间推进能更高效地求解。

图10.6说明提高 CFL 数的影响。方程两侧均采用一阶迎风格式，见式（10.16）和（10.35）。由于显式与隐式算子形式相似，阻尼性能很好。这证实了前面对 Newton 格式的论述。

图10.7比较隐式算子，即方程左侧 LHS，采用两种不同离散时的放大因子。两种情况下，显式算子均采用二阶迎风格式（10.18）离散。显然，在方程左侧精确表示显式算子，能显著改善阻尼性能，加快收敛；这一点已多次得到实践证实。对于一阶／二阶混合离散，可通过增大超松弛程度改善阻尼性能；LU-SGS 格式的研究已给出实例 $ [19, 20] $。

图10.8的最后一个例子考察对流—扩散模型方程（10.20），比较两种情况。第一种情况下，隐式算子也包含扩散项的离散（实线），其阻尼性能很好，与对流模型问题相似。但是，若从隐式算子中去掉扩散项（图10.8虚线），即使黏性特征值与对流特征值之比仅为 $ (\Lambda_{v}/\Lambda = 2) $ 这样的小值，格式也会失稳。因此，为获得稳健的格式，通量 Jacobian 的近似应始终包含黏性通量。

由此可见，隐式算子至少应包含空间离散与物理问题最重要的特征。对通量 Jacobian $ \partial\vec{R}/\partial\vec{W} $ 采用过于粗糙的近似，很容易使格式失稳。因此，必须在计算量与数值通量 Jacobian 的精度之间找到合理折中。

与显式多级格式的结果比较可知，合理设计的隐式格式具有明显更好的阻尼性能，尤其在低相位角或低频处。因此，与多级格式相比，隐式格式可望获得更快的渐近收敛速率。

10.3.6 CFL 条件的推导

任何显式时间推进格式，只有当时间步长 $ \Delta t $ 不超过某个值时才能保持稳定。Courant 等人 [11] 提出了时间推进格式稳定性的必要条件，但它并非充分条件。所谓 CFL 条件要求数值格式的依赖域必须包含偏微分方程的依赖域。为解释这一要求，考虑图10.9的 x–t 图。对流模型方程（10.13）的依赖域由特征线 $ dx/dt = \Lambda $ 决定，即任何信息都以该速度在计算域中传播。因此，$ (t_{0} + \Delta t) $ 时刻的精确解，等于 $ t_{0} $ 时刻在空间坐标 $ x^{*} = x_{i} - \Lambda \Delta t $ 处的解。为正确模拟精确解的行为，空间离散的模板必须包含点 $ x^{*} $。因此，至少必须包含点 $ x_{i-1} $，这里假设 $ \Lambda > 0 $。这种数值格式的依赖域由图10.9的阴影区域表示。于是得到条件

$$ \Lambda\;\Delta t\leq\Delta x\quad\text{或}\quad\Delta t\leq\frac{\Delta x}{\Lambda}.\tag{10.41} $$

由此得到 CFL 条件

$$ \sigma=\left|\Lambda\right|\frac{\Delta t}{\Delta x}\leq1.\tag{10.42} $$

显式多级格式当然可以采用 $ \sigma > 1 $ 的 CFL 数，因为 $ (t_{0} + \Delta t) $ 时刻的新解并非仅通过一步获得。

根据上述论证，容易说明式（10.32）这样的隐式格式始终满足 CFL 条件，因为其数值依赖域覆盖全部网格点。

通过 von Neumann 分析得到 CFL 条件

式（10.42）的 CFL 条件也可通过 von Neumann 稳定性分析推导。为此，考虑对流模型方程（10.13），采用一阶迎风格式（10.16）与单级显式格式离散。这种数值格式的依赖域对应图10.9的阴影区域。根据式（10.12），放大因子 g 可由以下关系得到：

$$ g=1-\frac{\Delta t}{\Delta x}z,\tag{10.43} $$

因为时间推进算子的 Fourier 符号简化为 $ f = \Delta t / \Delta x $。将式（10.17）的 z 代入式（10.43），放大因子为

$$ g=1-\frac{\Delta t}{\Delta x}\Lambda\left[I\sin\Phi+(1-\cos\Phi)\right].\tag{10.44} $$

因此，g 的模为，假设 $ \Lambda > 0 $：

$$ |g|^{2}=2\frac{\Delta t}{\Delta x}\Lambda\left(\frac{\Delta t}{\Delta x}\Lambda-1\right)(1-\cos\Phi)+1.\tag{10.45} $$

容易证明，$ |g|^{2} $ 的最大值出现在相位角 $ \Phi = \pi $ 处。令式（10.45）中 $ \Phi = \pi $，得到

$$ |g(\Phi=\pi)|^{2}=4\frac{\Delta t}{\Delta x}\Lambda\left(\frac{\Delta t}{\Delta x}\Lambda-1\right)+1.\tag{10.46} $$

校注：原书称 $|g|^2$ 的最大值出现在 $\Phi=\pi$。根据式（10.45），令 $\sigma=\Lambda\Delta t/\Delta x$，在稳定区间 $0<\sigma<1$ 内，此处实际为最小值；只有 $\sigma>1$ 等不稳定情形才为最大值。检查 $\Phi=\pi$ 仍可导出对所有相位角稳定所需的 $0\leq\sigma\leq1$。

为保证时间推进格式稳定，必须满足 $ |g|^{2} \leq 1 $。这一条件仅在以下关系成立时才可能满足：

$$ \frac{\Delta t}{\Delta x}\Lambda\leq1\tag{10.47} $$

因而

$$ \Delta t\leq\frac{\Delta x}{\Lambda}.\tag{10.48} $$

这与式（10.41）完全一致。

需要注意，CFL 条件 $ (10.42) $ 虽然是数值格式稳定的必要条件，但并不足以保证稳定性。因此，还应进行 von Neumann 分析。