3.3 湍流建模
3.3 湍流建模
对于无黏流或层流，求解控制方程（2.19）不存在根本性困难。然而，湍流模拟却是一个重大问题。尽管现代超级计算机性能很高，利用含时 Navier–Stokes 方程（2.19）直接模拟湍流，即直接数值模拟（DNS），仍只能用于低 Reynolds 数（Re）下较简单的流动。若注意到，为获得充分空间分辨率所需的网格点数按 $ Re^{9/4} $ 增长，CPU 时间按 $ Re^{3} $ 增长，就不难看出 DNS 的限制。这并不意味着 DNS 完全没有用处；它是理解湍流结构及层流—湍流转捩的重要工具，也在新湍流模型或改进模型的开发与标定中发挥关键作用。然而，在工程应用中，只能借助复杂程度不同的模型近似考虑湍流效应。
第一层近似是大涡模拟（LES）。LES 的发展基于这样的认识：湍流运动的小尺度比输运湍动能的大尺度具有更普适的性质。因此，基本思想是仅精确分辨大涡，再用相对简单的亚格子尺度模型近似小尺度的作用。由于 LES 所需网格点数显著少于 DNS，可以研究更高 Reynolds 数的湍流。不过，LES 本质上是三维且非定常的，因此计算需求仍然很高，距离成为工程工具还很远。然而，LES 很适合详细研究复杂流动物理，包括大范围分离的非定常流、大尺度混合（例如燃料与氧化剂）、气动噪声及流动控制策略。对于燃烧室或发动机中的流动、传热和旋转流动，LES 也有望实现更准确的计算。文献 $ [314] $ 最近综述了 LES 研究活动。
下一层近似是 Reynolds 平均 Navier–Stokes 方程（RANS）。Reynolds 于 1895 年提出了这一方法：将流动变量分解为平均部分与脉动部分，再进行时间平均或系综平均 $ [315] $（另见 $ [316, 317] $）。当密度不恒定时，宜对速度分量采用密度（质量）加权分解，即 Favre 分解 $ [318, 319] $；否则，由于出现涉及密度脉动的额外相关项，平均控制方程会复杂得多。通常假定 Morkovin 假设 $ [320] $ 成立，即 Mach 数低于 5 时，边界层和尾流的湍流结构不会受到密度脉动的显著影响。
将分解后的变量（平均部分与脉动部分）代入 Navier–Stokes 方程（2.19）并平均后，得到的平均变量方程在形式上与原方程相同，只是多出两项。黏性应力张量增加了一项——Reynolds 应力张量 $ [315] $：
$$ \overline{{\overline{{\tau}}}}_{i j}^{R}=-\overline{{\rho}}\widetilde{v_{i}^{\prime\prime}v_{j}^{\prime\prime}},\tag{3.13} $$
其中，$ v_{i}^{\prime\prime} $、$ v_{j}^{\prime\prime} $ 表示速度分量 u、v、w 的密度加权脉动部分；$ \overline{(\cdot)}\text{ 和 }\widetilde{(\cdot)} $ 分别表示系综平均与密度加权平均。Reynolds 应力张量表示湍流脉动引起的平均动量输运。此外，能量方程中的扩散热通量 $ k\nabla T $（参见式（2.8））还增加了所谓的湍流热通量矢量 [63]。
$$ \vec{F}_{D}^{\mathrm{T}}=-\overline{{\rho}}\widetilde{h^{\prime\prime}\vec{v}^{\prime\prime}}.\tag{3.14} $$
因此，求解 Reynolds 平均 Navier–Stokes 方程，需要对 Reynolds 应力 $ (3.13) $ 和湍流热通量 $ (3.14) $ 建模。这种方法的优点是，可以采用比 LES 粗得多的网格，并且可以假定平均解为定常（至少对于附着流或中等程度的分离流）。显然，这两点相较于 LES，乃至 DNS，都能显著降低计算量。因此，RANS 在工程应用中十分流行。当然，由于进行了平均，无法获得湍流结构的详细信息。
为封闭 RANS 方程，研究者已提出多种湍流模型，相关研究仍在继续。这些模型可分为一阶封闭和二阶封闭。
最复杂、同时也最灵活的是二阶封闭模型。Rotta $ [321] $ 首先提出了 Reynolds 应力输运（RST）模型，它求解 Reynolds 应力张量的模型化输运方程。六个应力分量的偏微分方程需要另加一个关系式才能封闭，通常采用湍流耗散率方程。RST 模型能够考虑较强的非局部效应和历史效应，也能反映流线曲率或系统旋转对湍流的影响。
与 RST 方法密切相关的是代数 Reynolds 应力（ARS）模型，可将其视为低层次模型与 RST 方法的组合。ARS 模型仅采用两个输运方程，通常是湍动能和耗散率方程。Reynolds 应力张量的分量，通过非线性代数方程与这些输运量联系起来 $ [322] $。ARS 方法能预测旋转湍流和通道中的二次流，精度与 RST 模型相近。关于 RST 和 ARS 模型的详细综述，见文献 $ [323, 324] $。
由于 RST 和 ARS 模型存在数值问题，主要分别源于 RST 方程的刚性和 ARS 方程的非线性，一阶封闭在实践中应用更广。在这些模型中，Reynolds 应力由单一标量——湍流涡黏性——表示。该方法基于 Boussinesq 的涡黏性假设 [325, 326]，即与层流类似，湍流剪切应力与平均应变率之间存在线性关系。于是，黏性应力张量（2.15）或控制方程（2.19）中的动力黏度 $ \mu $，被层流分量与湍流分量之和取代：
$$ \mu=\mu_{\mathrm{L}}+\mu_{\mathrm{T}}.\tag{3.15} $$
如前所述，层流黏度可用 Sutherland 公式（2.30）等方法计算。类似地，湍流热通量矢量（3.14）建模为：
$$ \vec{F}_{D}^{\mathrm{T}}=-k_{\mathrm{T}}\nabla T,\tag{3.16} $$
其中，$ k_{T} $ 表示湍流导热系数。因此，式（2.24）中的导热系数计算为：
$$ k=k_{\mathrm{L}}+k_{\mathrm{T}}=c_{p}\left(\frac{\mu_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Pr}_{\mathrm{L}}}+\frac{\mu_{\mathrm{T}}}{\mathrm{Pr}_{\mathrm{T}}}\right).\tag{3.17} $$
通常假定湍流 Prandtl 数在流场中为常数（空气取 $ \mathrm{Pr}_{T}=0.9 $）。湍流涡黏性系数 $ \mu_{T} $ 必须借助湍流模型确定。涡黏性方法的局限，在于假定湍流与平均应变场处于平衡，并且不依赖系统旋转。通过引入修正项 [327, 328]，或采用非线性涡黏性方法 [329–331]，可以显著提高基于涡黏性模型的精度。
一阶封闭可以按所用输运方程的数量，分为零方程、单方程和多方程模型。零方程模型又称代数模型，用只依赖局部平均流动变量的经验关系计算湍流涡黏性。因此，它们无法模拟历史效应，也就不能可靠地预测分离流。最常用的代数模型由 Baldwin 和 Lomax 提出 $ [332] $，至今仍用于某些应用。
单方程和两方程模型通过输运方程模拟湍流的对流与扩散，从而考虑历史效应。应用最广泛的单方程湍流模型由 Spalart 和 Allmaras 提出 $ [333] $，以一个类似涡黏性的变量为基础。该模型数值稳定性很好，且容易在结构与非结构网格上实现。
对于两方程模型，几乎所有方法都采用湍动能输运方程。在众多两方程模型中，Launder 和 Spalding 的 $ K-\varepsilon $ 模型 [334]，以及 Wilcox 的 $ K-\omega $ 模型 [335]，最常用于工程应用，在计算量和精度之间提供了合理折中。文献 [336] 对 Spalart–Allmaras 模型与多种两方程湍流模型作了很有意义的比较；文献 [337] 也提供了有用的模型比较。