A.10 黏性通量 Jacobian 矩阵

A.10 黏性通量 Jacobian 矩阵

黏性通量 Jacobian 表示黏性通量对守恒变量的梯度，即

$$ \bar{A}_{ v}=\frac{\partial\vec{F}_{\mathrm{v}}}{\partial\vec{W}},\tag{A.70} $$

其中，$ \vec{F}_{ v} $ 由式（2.23）给出。为简化讨论，仅考虑 Navier–Stokes 方程的薄剪切层近似，参见2.4.3和A.6节。此外，假设动力黏度与热导率对守恒变量变化及空间变化均作冻结处理。

二维形式

采用薄剪切层近似时，曲线坐标中的二维黏性通量 Jacobian 为 $ [24] $

$$ \bar{A}_{ v}=\frac{\mu}{J}\begin{bmatrix}{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{b_{21}}}}&{{{a_{1}\partial_{\psi}(\rho^{-1})}}}&{{{a_{2}\partial_{\psi}(\rho^{-1})}}}&{{{0}}} \\{{{b_{31}}}}&{{{a_{2}\partial_{\psi}(\rho^{-1})}}}&{{{a_{3}\partial_{\psi}(\rho^{-1})}}}&{{{0}}} \\{{{b_{41}}}}&{{{b_{42}}}}&{{{b_{43}}}}&{{{a_{4}\partial_{\psi}(\rho^{-1})}}}\end{bmatrix},\tag{A.71} $$

其中，J 为坐标变换 Jacobian 行列式，见式（A.13）。系数 a 与 b 为

$$ \begin{aligned}b_{21}&=\ -a_{1}\partial_{\psi}(u/\rho)-a_{2}\partial_{\psi}( v/\rho),\\b_{31}&=\ -a_{2}\partial_{\psi}(u/\rho)-a_{3}\partial_{\psi}( v/\rho),\\b_{41}&=\ a_{4}\partial_{\psi}\left[(u^{2}+ v^{2})/\rho-E/\rho\right]-a_{1}\partial_{\psi}(u^{2}/\rho)\\&\quad-2a_{2}\partial_{\psi}(u v/\rho)-a_{3}\partial_{\psi}( v^{2}/\rho),\\b_{42}&=\ -a_{4}\partial_{\psi}(u/\rho)-b_{21},\\b_{43}&=\ -a_{4}\partial_{\psi}( v/\rho)-b_{31},\\a_{1}&=\ (4/3)\psi_{x}^{2}+\psi_y^{2},\\a_{2}&=\ (1/3)\psi_{x}\psi_y,\\a_{3}&=\ \psi_{x}^{2}+(4/3)\psi_y^{2},\\a_{4}&=\ (\gamma/Pr)\left(\psi_{x}^{2}+\psi_y^{2}\right).\end{aligned}\tag{A.72} $$

上述关系中，$ \mu $ 为动力黏度，$ \gamma $ 为比热比，Pr 为 Prandtl 数。

各项 $ \partial_{\psi}() = \partial()/\partial\psi $ 必须理解为算子。以式（A.71）的 $ a_{1}\partial_{\psi}(\rho^{-1}) $ 为例，许多隐式格式将黏性通量 Jacobian $ \vec{A}_{ v} $ 乘以守恒变量变化量 $ \Delta\vec{W} = \vec{W}^{n+1} - \vec{W}^{n} $，因此完整项为

$$ \left[J^{-1}\mu a_{1}\partial_{\psi}(\rho^{-1})\right]\Delta W_{2}=A_{22}\Delta W_{2}.\tag{A.73} $$

若在结构网格上采用后向差分离散上述项，则在中点 $ (i+1/2) $ 得到

$$ \left[A_{22}\;\Delta W_{2}\right]_{i+1/2}=J_{i+1/2}^{-1}\mu_{i+1/2}\left(a_{1}\right)_{i+1/2}\frac{\left(\frac{\Delta W_{2}}{\rho}\right)_{i+1}-\left(\frac{\Delta W_{2}}{\rho}\right)_{i}}{\Delta\psi}.\tag{A.74} $$

分别令 $ \psi = \xi $ 或 $ \psi = \eta $，即可得到特定坐标方向的 Jacobian 矩阵。

三维形式

采用薄剪切层近似时，曲线坐标中的三维黏性通量 Jacobian 为 $ [24] $

$$ \bar{A}_{ v}=\frac{\mu}{J}\begin{bmatrix}{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{b_{21}}}}&{{{a_{1}\partial_{\psi}(\rho^{-1})}}}&{{{a_{2}\partial_{\psi}(\rho^{-1})}}}&{{{a_{3}\partial_{\psi}(\rho^{-1})}}}&{{{0}}} \\{{{b_{31}}}}&{{{a_{2}\partial_{\psi}(\rho^{-1})}}}&{{{a_{4}\partial_{\psi}(\rho^{-1})}}}&{{{a_{5}\partial_{\psi}(\rho^{-1})}}}&{{{0}}} \\{{{b_{41}}}}&{{{a_{3}\partial_{\psi}(\rho^{-1})}}}&{{{a_{5}\partial_{\psi}(\rho^{-1})}}}&{{{a_{6}\partial_{\psi}(\rho^{-1})}}}&{{{0}}} \\{{{b_{51}}}}&{{{b_{52}}}}&{{{b_{53}}}}&{{{b_{54}}}}&{{{a_{7}\partial_{\psi}(\rho^{-1})}}}\end{bmatrix},\tag{A.75} $$

其中，

$$ \begin{aligned}b_{21}&=-a_{1}\partial_{\psi}(u/\rho)-a_{2}\partial_{\psi}(v/\rho)-a_{3}\partial_{\psi}(w/\rho),\\b_{31}&=-a_{2}\partial_{\psi}(u/\rho)-a_{4}\partial_{\psi}(v/\rho)-a_{5}\partial_{\psi}(w/\rho),\\b_{41}&=-a_{3}\partial_{\psi}(u/\rho)-a_{5}\partial_{\psi}(v/\rho)-a_{6}\partial_{\psi}(w/\rho),\\b_{51}&=a_{7}\partial_{\psi}\left[(u^{2}+ v^{2}+w^{2})/\rho-E/\rho\right]-\\&\quad a_{1}\partial_{\psi}(u^{2}/\rho)-a_{4}\partial_{\psi}( v^{2}/\rho)-a_{6}\partial_{\psi}(w^{2}/\rho)\\&\quad-2a_{2}\partial_{\psi}(u v/\rho)-2a_{3}\partial_{\psi}(uw/\rho)-2a_{5}\partial_{\psi}( v w/\rho),\\b_{52}&=-a_{7}\partial_{\psi}(u/\rho)-b_{21},\\b_{53}&=-a_{7}\partial_{\psi}( v/\rho)-b_{31},\\b_{54}&=-a_{7}\partial_{\psi}(w/\rho)-b_{41}\end{aligned}\tag{A.76} $$

并且

$$ \begin{aligned}a_{1}&=(4/3)\psi_{x}^{2}+\psi_y^{2}+\psi_{z}^{2},\\a_{2}&=(1/3)\psi_{x}\psi_y,\\a_{3}&=(1/3)\psi_{x}\psi_{z},\\a_{5}&=(1/3)\psi_y\psi_{z},\\a_{4}&=\psi_{x}^{2}+(4/3)\psi_y^{2}+\psi_{z}^{2},\\a_{6}&=\psi_{x}^{2}+\psi_y^{2}+(4/3)\psi_{z}^{2},\\a_{7}&=(\gamma/Pr)\left(\psi_{x}^{2}+\psi_y^{2}+\psi_{z}^{2}\right).\end{aligned}\tag{A.77} $$

同样，$ \partial_{\psi}()=\partial()/\partial\psi $ 各项应视为算子。分别令 $ \psi=\xi $、$ \psi=\eta $ 或 $ \psi=\zeta $，即可得到特定坐标方向的 Jacobian 矩阵。

有限体积离散中，可按式（A.17），将度量项 $ \psi_{x} $、$ \psi_y $、$ \psi_{z} $ 转换为面矢量 $ \vec{S} = \vec{n}\Delta S $ 的分量。坐标变换 Jacobian 行列式 J，则替换为控制体面周围所构造体积的倒数，见图A.1和式（A.20）。于是，对于有限体积格式重新考虑式（A.73），式（A.72）的乘积 $ J^{-1}a_{1} $ 为

$$ J^{-1}a_{1}=\frac{2}{\Omega^{*}}\left(\frac{4}{3}S_{x}^{2}+S_{ y}^{2}\right).\tag{A.78} $$

式（A.78）包含面的面积，因为计算残差时，黏性通量须乘以 $ \Delta S $；$ \vec{F}_{ v} $ 本身仅包含单位法向矢量的分量。在中点 $ (i+1/2) $ 处离散，得到

$$ \left[A_{22}\Delta W_{2}\right]_{i+1/2}=\frac{2\mu_{i+1/2}}{\Omega_{i+1/2}^{*}}\left(\frac{4}{3}S_{x}^{2}+S_{ y}^{2}\right)\left[\left(\frac{\Delta W_{2}}{\rho}\right)_{i+1}-\left(\frac{\Delta W_{2}}{\rho}\right)_{i}\right],\tag{A.79} $$

其中，假设 $ \Delta\psi=1 $，依据为 $ \vec{S}^{I} $ 与 $ \vec{S}^{J} $ 的定义，见图A.1及式（A.15）、（A.16）。