A.7 PNS 方程

A.7 PNS 方程

当满足以下三个条件时：

• 流动为定常，即 $\partial\vec W/\partial t=0$；

• 流体主要沿一个方向运动，且不得发生边界层分离；

• 横流分量可忽略；

Navier–Stokes 方程（2.19）可简化为抛物化 Navier–Stokes（PNS）方程 [23]。此时，可在黏性应力项中去掉速度分量与温度对流向的导数。此外，在式（2.23）的黏性通量矢量中，可忽略黏性应力张量 $ \overline{\overline{\tau}} $ 及其功 $ (\overline{\overline{\tau}} \cdot \vec{ v}) $ 沿流向的分量。

考虑式（A.4）的一般曲线网格 Navier–Stokes 微分方程，假设流向对应坐标 $ \xi $，横流方向对应 $ \eta $ 与 $ \zeta $，则三维 PNS 方程在曲线坐标系 $ (\xi, \eta, \zeta) $ 中的微分形式为

$$ \frac{\partial\vec{W}^{*}}{\partial t}+\frac{\partial\vec{F}_{c,1}}{\partial\xi}+\frac{\partial\vec{F}_{c,2}}{\partial\eta}+\frac{\partial\vec{F}_{c,3}}{\partial\zeta}=\frac{\partial\vec{F}_{ v,2}}{\partial\eta}+\frac{\partial\vec{F}_{ v,3}}{\partial\zeta}+\vec{Q}^{*}.\tag{A.54} $$

这意味着，流向黏性通量 $ (\bar{F}_{ v,1}) $ 假定为零。黏性应力张量与热通量（A.10）中出现的笛卡尔速度分量及温度偏导数，近似为

$$ \begin{gathered}\frac{\partial u}{\partial x}\approx\eta_{x}\frac{\partial u}{\partial\eta}+\zeta_{x}\frac{\partial u}{\partial\zeta},\\\frac{\partial u}{\partial y}\approx\eta_{ y}\frac{\partial u}{\partial\eta}+\zeta_{ y}\frac{\partial u}{\partial\zeta},\\\frac{\partial u}{\partial z}\approx\eta_{z}\frac{\partial u}{\partial\eta}+\zeta_{z}\frac{\partial u}{\partial\zeta},\quad\text{等等。}\end{gathered}\tag{A.55} $$

PNS 方法以这些近似替代精确公式（A.12）。守恒变量（A.5）、对流通量（A.6）、其余两个黏性通量（A.7）及源项（A.8）的定义均不变。