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11.2 非结构网格 非结构网格通常由二维三角形或三维四面体组成。但如今，用多种单元类型构造非结构网格越来越常见。例如，以六面体或棱柱体离散边界层，流动区域其余部分用四面体填充，并在六面体或棱柱体与四面体之间用金字塔形单元过渡，故称混合单元网格。结构六面体网格的优点是：对于高拉伸黏性网格，能保持壁面法向精度，而且与四面体网格相比，单元、边和面数量更少。非结构四面体网格的优点则是：能快速离散图11.3、11.4这样的复杂几何，且只需很少的用户干预。混合网格力求结合两者的优点。 非结构网格的节点与单元近似随机排列，即无...

参考文献 [1] Brodersen O, Hepperle M, Ronzheimer A, Rossow CC, Schöning B. The parametric grid generation system MegaCads. Proceeding of the 5th international conference on numerical grid generation in computing field simulations. Mississippi: NSF Engineering Cent...

第 12 章 软件应用 软件包包含若干一维、二维流动求解器及网格生成器的源代码和可执行程序，并提供多种一维、二维流动算例的输入数据与网格。此外，还包含两个用于显式、隐式时间推进格式 von Neumann 稳定性分析的程序，以及采用不同方法实现程序并行化的示例。 这些软件旨在展示，如何将前面各章介绍的计算流体动力学理论转化为计算机代码。各程序可作为进一步试验和改进的基础。源代码按 GNU 通用公共许可证提供，可自由复制并免费再分发；详情见各目录中的 LICENSE.txt 文件。 流动求解器和网格生成器的源代码采用...

12.2 一维结构网格生成器 grid_1d 目录包含生成一维结构网格的程序。每个网格节点对应一个截面积，沿 x 轴的面积分布对应 Laval 喷管，按以下关系计算： $$ \begin{gathered}A(x)=1+\frac{1}{2}(A_{1}-1)\left\{1+\cos\left(\frac{\pi x}{x_{\mathrm{thr}}}\right)\right\}\qquad\quad\text{当}0\leq x\leq x_{\mathrm{thr}}\\A(x)=1+\frac{1}{2...

12.3 二维结构网格生成器 grid_struct_2d 目录包含三个生成二维外流与内流结构网格的程序。第一个的源代码位于 cgrid 子目录，用于生成翼型周围 C 型网格，见11.1.1节及图11.6。初始网格用式（11.5）的线性 TFI 代数方法生成，再利用椭圆型偏微分方程（11.1.3节），生成具有指定壁面间距的边界正交网格。翼型轮廓用 Bézier 样条近似；相关入门介绍见文献 [1,2]。 第二个程序生成带圆弧凸起的二维通道内部代数网格，网格点在凸起的前端和后端附近加密。源代码位于 channel 子...

12.4 结构网格转非结构网格程序 grid_unstr_2d 目录中的程序，将二维结构网格转换为非结构三角形网格。它连接距离较短的一对对角节点，将结构网格的每个四边形单元划分为两个三角形。所得网格可作为12.7节非结构流动求解器的输入。

12.5 准一维 Euler 求解器 structured_1d 目录包含求解准一维 Euler 方程的程序，描述喷管或管道中的无黏流动。方程的守恒微分形式为 $ [3] $ $$ \frac{\partial\vec{W}}{\partial t}+\frac{\partial\vec{F_{c}}}{\partial x}=\vec{Q}.\tag{12.3} $$ 守恒变量、对流通量及源项的矢量分别为 $$ \vec{W}=\begin{bmatrix}\rho A\\ \rho u A\\ \rho E ...

12.6 二维结构 Euler／Navier–Stokes 求解器 structured_2d 目录包含在结构贴体网格上求解二维 Euler 方程和 Navier–Stokes 方程的程序。空间离散基于4.2.1节的单元中心有限体积方法，采用4.3.1节的带标量人工耗散中心格式，以及4.3.3节的 Roe 迎风格式。控制方程用显式多级格式积分，见6.1.1或6.1.2节，并通过局部时间推进（9.1节）及中心隐式残差光顺（9.3.1节）加速。速度分量与温度梯度采用4.4.1节的对偶控制体方法计算。 图12.2 密...

12.7 二维非结构 Euler／Navier–Stokes 求解器 unstructured_2d 和 C++/unstructured_2d 目录包含在非结构三角形网格上求解二维 Euler 方程与 Navier–Stokes 方程的程序。空间离散采用5.2.2节的中位对偶单元顶点格式。对流通量、黏性通量及梯度的计算采用基于边的数据结构。程序还可模拟极低马赫数的不可压缩流动，见9.5节。 流动求解器的源代码位于 src 子目录；输入文件、网格与结果位于 run 子目录；doc 子目录包含文件、模块、函数和变量的...

12.8 并行化 Parallelization 目录包含采用异步代理库、CUDA、MPI 和 OpenMP 实现的并行程序示例，见9.6节。待并行化的程序求解二维 Laplace 方程， $$ \phi_{x x}+\phi_{yy}=0\tag{12.6} $$ 采用结构矩形网格与 Jacobi 迭代，迭代过程中边界值保持固定。 图12.9 叶栅内部的压力等值线。 示例采用 C（CUDA 和 MPI）及 C++ 编写。MPI 的编译由 Makefile 控制，其余示例提供 Visual Studio 2...

参考文献 [1] Farin GE. Curves and surfaces for computer aided geometric design—a practical guide. 3rd ed. Boston: Academic Press; 1993. 题名中译：计算机辅助几何设计的曲线与曲面：实用指南，第3版。 [2] Hoschek J, Lasser D. Fundamentals of computer aided geometric design. Wellesley, MA: A.K. Pet...

附录 A.1 控制方程的微分形式 假设对流通量与黏性通量连续，则先应用 Gauss 定理，可将控制方程（2.19）由积分形式转为微分形式，得到 $$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{\Omega}\vec{W}\mathrm{d}\Omega+\int_{\Omega}\vec{\nabla}\cdot\left(\overline{{\overline{{F}}}}_{c}-\overline{{\overline{{F}}}}_{ v}\right)\mathrm{d}\Ome...

A.2 Euler 方程的拟线性形式 这种形式有助于理解控制方程的数学性质，也便于发展和分析数值格式。 拟线性形式由控制方程的微分形式（A.4）推导得到。这里仅考虑 Euler 方程，即 $$ \frac{\partial\vec{W}^{*}}{\partial t}+\frac{\partial\vec{F}_{c,1}}{\partial\xi}+\frac{\partial\vec{F}_{c,2}}{\partial\eta}+\frac{\partial\vec{F}_{c,3}}{\partial\z...

A.3 控制方程的数学类型 偏微分方程（PDE）的数学类型，可用经典的二阶拟线性方程说明： $$ a\frac{\partial^{2}U}{\partial x^{2}}+b\frac{\partial^{2}U}{\partial x\partial y}+c\frac{\partial^{2}U}{\partial y^{2}}=d,\tag{A.24} $$ 其中，U 为一般标量函数。系数 a、b、c、d 可以是坐标、U 及 U 的一阶导数的非线性函数，但不能依赖 U 的二阶导数。按判别式 $ (b^{2...

A.4 旋转参考系中的 Navier–Stokes 方程 在某些情况下，例如叶轮机械、螺旋桨或地球物理应用中，计算域绕某条轴匀速旋转。此时，将 Navier–Stokes 方程变换到旋转参考系更方便。考虑图A.6：点 P 以恒定角速度 $ \vec{\omega} $ 绕固定轴旋转。为简单起见，假设旋转轴与 x 轴重合，因此角速度分量为 $ \vec{\omega} = [\omega_{1}, 0, 0]^{T} $。绝对速度 $ \vec{ v}_{a} $ 为相对速度 $ \vec{ v}_{r} $ 与牵连...

A.5 动网格上的 Navier–Stokes 方程 在研究流固耦合或模拟外挂物分离等问题时，必须在移动、甚至变形的网格上求解控制方程。最常用的两种方法，是任意 Lagrange–Euler（ALE）形式 $ [4–6] $ 与动态网格 $ [7] $。两者密切相关，得到相同的修正控制方程形式，用于计及网格相对流体的运动。 对于具有面元 dS 的移动或变形控制体 $ \Omega $，Navier–Stokes 方程（2.19）的时变积分形式为 $$ \frac{\partial}{\partial t}\int_...

A.6 薄剪切层近似 高 Reynolds 数流动中，黏性应力仅在物体周围的狭窄区域影响流动。因此，可合理假设壁面法向梯度占主导，忽略其他方向的梯度 $ [21, 22] $。这就是 Navier–Stokes 方程的薄剪切层（TSL）近似。 以一般曲线网格上的 Navier–Stokes 微分方程（A.4）说明。假设如图2.4所示，壁面位于 $ \eta = const. $，则从扩散项中去掉全部沿流向 $ (\partial/\partial\xi) $ 与横流方向 $ (\partial/\partial\z...

A.7 PNS 方程 当满足以下三个条件时： 流动为定常，即 $\partial\vec W/\partial t=0$； 流体主要沿一个方向运动，且不得发生边界层分离； 横流分量可忽略； Navier–Stokes 方程（2.19）可简化为抛物化 Navier–Stokes（PNS）方程 [23]。此时，可在黏性应力项中去掉速度分量与温度对流向的导数。此外，在式（2.23）的黏性通量矢量中，可忽略黏性应力张量 $ \overline{\overline{\tau}} $ 及其功 $ (\overl...

A.8 Navier–Stokes 方程的轴对称形式 模拟圆柱形物体绕流或圆柱形腔内流动时，通常可假设流动关于纵轴对称。这意味着没有旋流，且流动量沿周向的导数为零。在这些条件下，可从 Navier–Stokes 方程（2.19）中去掉一个动量方程，控制方程因此由三维降为二维，大幅降低计算量。 Navier–Stokes 方程的轴对称形式为 $$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{\Omega}\vec{W}\mathrm{d}\Omega+\oint_{\partial\Omega}...

A.9 对流通量 Jacobian 矩阵 对流通量 Jacobian 表示对流通量对守恒变量的梯度，即 $$ \bar{A}_{c}=\frac{\partial\vec{F}_{c}}{\partial\vec{W}},\tag{A.65} $$ 其中，$ \vec{F}_{c} $ 由式（2.21）给出。 二维形式 二维对流通量 Jacobian 矩阵为 $ [24] $： $$ \bar{A}_{c}=\begin{bmatrix}{{{-V_{t}}}}&{{{n_{x}}}}&{{{n_y}}}&{{{...