Search Results

8.4 入口／出口边界 人们为 Navier–Stokes 方程的入口，尤其是出口（又称开放）边界条件，提出了多种数值实现方法 $ [22–26] $。这里重点介绍为叶轮机械应用发展的方法。适宜的无反射入口和出口边界条件例如见文献 $ [27–30] $。Giles $ [31] $ 以及 Hirsch 和 Verhoff $ [32] $ 提出了用于 Euler 方程的无反射边界条件，适用于物体与入口或出口平面距离较短的计算域。 某些情况下，入口和出口边界在速度、压力梯度及温度梯度方面还具有周期性。例如，热交换器...

8.5 喷注边界 喷注速度和其他流动变量由给定的质量流量 $ \dot{m} $ 及喷注温度 $ T_{inj} $ 计算。这里假设质量沿边界法向喷入。对流通量采用式（2.21）计算，逆变速度 V 取为喷注速度，即 $$ V=V_{\mathrm{inj}}=\frac{\dot{m}}{\rho_{\mathrm{inj}}}.\tag{8.37} $$ 速度分量利用面的法向量计算： $$ \vec{v}_{\mathrm{inj}}=-\vec{n}\;V_{\mathrm{inj}}\tag{8.38} $...

8.6 对称面 若流动关于某条直线或某个平面对称，首先必须满足没有穿过边界的通量，即对称边界上的法向速度为零。此外，以下梯度必须为零： 标量沿边界法向的梯度； 切向速度沿边界法向的梯度； 法向速度沿边界的梯度，因为 $ \vec{ v} \cdot \vec{n} = 0 $。 这些条件可写为 $$ \begin{gathered}\vec{n}\cdot\vec{\nabla}U=0,\\\vec{n}\cdot\vec{\nabla}(\vec{ v}\cdot\vec{t})=0,\\\vec...

8.7 坐标切口 这种边界条件仅出现在结构网格中。坐标切口是人工边界，并非物理边界；它由计算坐标不同、物理位置相同的网格点构成一条线，三维时为一个面。这意味着网格经过折叠后与自身接触。11.1.1 节将说明，C 型网格拓扑（图 11.5）或 O 型网格拓扑（图 11.9）均存在坐标切口。流动变量及其梯度必须跨切口保持连续。 实现坐标切口的最佳方法是采用虚拟单元（点），如图 8.9 所示。这里的虚拟层并非仅在概念上存在，而是与切口对侧的网格重合。因此，虚拟单元（单元中心格式）或虚拟点（单元顶点格式）中的物理量直接取自...

8.8 周期边界 某些实际应用中的流场沿一个或多个坐标方向具有周期性，此时只需在其中一个重复区域内模拟流动，并通过周期边界条件保证其与其余物理区域之间的正确相互作用。 周期边界有两种基本类型。第一种为平移周期性，即通过纯坐标平移将一个周期边界变换到另一个；第二种周期边界由坐标旋转产生，称为旋转周期性。 下面介绍单元中心格式和单元顶点格式中周期边界条件的实现，并考虑旋转周期性。周期边界处理的进一步说明见文献 $ [37, 38] $。 单元中心格式 采用虚拟单元概念可以简单地实现周期边界条件。考虑图 8.10 的叶轮...

8.9 网格块之间的接口 在 3.1 节讨论结构网格空间离散时，已经指出通常无法在几何形状复杂的区域中生成单个网格（见图 3.4）。当时介绍了两种解决方法：多块方法和 Chimera 方法。下面介绍多块方法实现中的基本问题，进一步讨论见文献 $ [39–45] $。文献 $ [46] $ 对多块方法提供了很有帮助的介绍；这里不讨论 Chimera 方法，其详细说明见文献 $ [47–53] $。 多块方法将物理区域划分成若干虚拟部分，因此计算域也划分为同样数量的块。一般而言，某个块内的物理解取决于一个或多个相邻块的...

8.10 非结构网格边界处的流动梯度 5.3.4 节已指出，中位对偶格式计算流动梯度时需要谨慎处理。如果在三角形或四面体网格上采用式（5.50）的 Green–Gauss 方法计算梯度，区域边界的贡献（对称或周期边界除外）必须采用与式（8.12）或（8.13）相似的方法计算，不能用算术平均，否则梯度不准确。采用图 8.4 的记号，对边界节点 1 的贡献为 $$ \frac{1}{6}(5U_{1}+U_{2})\vec{n}_{12}\frac{\Delta S_{12}}{2}, $$ 其中，$ \Delta ...

参考文献 [1] Kroll N, Jain RK. Solution of two-dimensional Euler equations—experience with a finite volume code. DFVLR-FB 87-41; 1987. 题名中译：二维 Euler 方程的求解：有限体积程序的应用经验。 [2] Rizzi A. Numerical implementation of solid-body boundary conditions for the Euler equations....

第 9 章 加速技术 为加速定常问题中控制方程（2.19）的求解，人们发展了多种方法。这些加速技术也适用于双时间推进格式（6.3 节）的内迭代。本章讨论以下数值方法： 局部时间推进； 焓阻尼； 残差光顺； 多重网格； 低马赫数预处理。 局部时间推进、焓阻尼和预处理通过修改常微分方程组（6.1）实现加速，其余两种技术则改进求解过程。除残差光顺外，所有方法均可用于显式（6.1 节）及隐式（6.2 节）时间推进格式。残差光顺专为显式多级格式（6.1.1、6.1.2 节）发展。若干加速方法的综述见文...

9.2 焓阻尼 某些情况下，总焓 H（式（2.12））在整个流场中保持常数，例如由 Euler 方程描述、没有热源及外力的外部流动。可以利用这一特点降低计算成本。 图 9.1 非结构网格无黏亚声速流动中，采用与不采用局部时间推进时升力系数收敛历程的比较。图内 Lift coefficient：升力系数；CPU time (s)：CPU 时间（秒）；Local／Global time-stepping：局部／全局时间推进。 第一种选择是在整个流动区域内指定总焓值，从而省去 Euler 方程（2.44）中的能量方...

9.3 残差光顺 通过优化级系数 $ [5-7] $，可在一定程度上改变显式多级时间推进格式（6.1.1、6.1.2 节）的最大 CFL 数和收敛性质。Jameson 和 Baker $ [8] $ 引入残差光顺技术，旨在使显式格式具有隐式特征，从而显著提高最大允许 CFL 数。残差光顺的另一个目的是增强对残差高频误差分量的阻尼，这对成功应用多重网格方法尤为重要。 残差光顺可以用显式、隐式或混合方式实现 $ [9, 10] $，通常在显式时间推进格式（式（6.5）、（6.7））的每一级应用。先将计算得到的残差 $ ...

9.4 多重网格 多重网格是一种强有力的加速技术（参见图 3.7）。它在一系列逐渐变粗的网格上求解控制方程，然后将粗网格的解更新量合并并加到最细网格的解上。Brandt $ [19] $ 最初为椭圆型偏微分方程发展了该技术，随后 Jameson 将其用于 Euler 方程 $ [20–22] $，之后又用于 Navier–Stokes 方程 $ [11–13, 23–32] $。多重网格可以结合显式或隐式时间推进格式实现 $ [33–39] $。当前研究旨在显著提高多重网格方法处理双曲型流动问题的效率 $ [40–...

9.5 低马赫数预处理 在低亚声速马赫数范围，当流速远小于声速时，控制方程（2.19）的对流项出现刚性。以下示例可以说明这一点。三维情况下，五个特征值为 $$ \begin{aligned}(\Lambda_c)_{1,2,3}&=V\quad\text{（对流模态）},\\(\Lambda_c)_{4,5}&=V\pm c\quad\text{（声学模态）}.\end{aligned}\tag{9.39} $$ 其中，V 为逆变速度，c 为声速。时间推进时控制方程的刚性由特征条件数决定，其定义为最大与最小特征值...

9.6 并行化 如今，几乎所有计算机——台式机、笔记本电脑和平板电脑——的中央处理器（CPU）都由多个核心组成。此外，现代图形处理器（GPU）还提供数百乃至数千个可进行通用编程的处理单元。然而，要利用这种大幅提升的计算能力，就必须合理设计软件。虽然并行化并不直接对应某一种数值方法，但它可能影响数值格式的选择，并且必然影响其实现。 目前，流体动力学程序采用多种编程范式实现并行化。首先是消息传递接口（MPI），它在程序层面工作。异步代理库也通过并行任务之间的消息传递实现并行计算2。不过，与 MPI 相比，它的命令集要受...

参考文献 [1] Kroll N, Jain RK. Solution of two-dimensional Euler equations—experience with a finite volume code. DFVLR-FB 87-41; 1987. 题名中译：二维 Euler 方程的求解：一个有限体积程序的应用经验。 [2] Mavriplis DJ. On convergence acceleration techniques for unstructured meshes. AIAA Paper 9...

第 10 章 相容性、精度与稳定性 在有限体积方法中，需要采用适当方法，近似计算每个控制体上 Navier–Stokes 方程（2.19）的面积分。第4章和第5章介绍了多种空间离散方案。由于对穿过控制体边界的对流通量和黏性通量进行了近似，离散方程与所要求解的控制方程存在差别，由此产生一定的空间离散误差。误差受积分计算所采用的数值格式及离散分辨率影响。因此，一个重要问题是：随着网格不断加密，离散方程的解是否会收敛到控制方程的精确解，以及收敛速度有多快。下面两节将从相容性与精度两方面讨论这一问题。 求解随时间变化的控制...

10.2 离散格式的精度 离散格式的精度与其截断误差有关。例如，若截断误差的主项与 $ \Delta x $ 成正比，则称为空间一阶精度格式；若主项随 $ (\Delta x)^{2} $ 变化，则称为空间二阶精度格式，依此类推。因此，示例格式（10.2）在空间和时间上均为一阶精度，见式（10.5）。这意味着，数值格式至少必须具有一阶精度，才可能具有相容性；否则，减小 $ \Delta t $ 与 $ \Delta x $ 不能降低截断误差。 现在的问题是，实际计算中如何评估截断误差。对于包含非线性开关、限制器等的...

10.3 von Neumann 稳定性分析 在实现新的离散方法之前，至少应大致了解它对数值格式稳定性与收敛行为的影响。已有大量实践证实，von Neumann 稳定性分析能够可靠地评估求解格式的性质。该方法在第二次世界大战期间于洛斯阿拉莫斯发展起来，但最早的简要描述由 Crank 和 Nicolson 于1947年给出 $ [4] $，后来又发表于文献 $ [5] $。文献 $ [6] $ 提供了很有帮助的入门介绍。 von Neumann 稳定性分析适用于采用周期边界条件的离散线性偏微分方程。它将解分解为 Fo...

参考文献 [1] Roache PJ. Quantification of uncertainty in computational fluid dynamics. Ann Rev Fluid Mech 1997;29:123-60. 题名中译：计算流体动力学中的不确定性量化。 [2] AIAA. Guide for the verification and validation of computational fluid dynamics simulations. AIAA G-077-1998(2002); ...

第 11 章 网格生成原理 在数值求解控制方程之前，必须离散所有边界表面，并在流动区域内部生成体网格。如第3章开头的3.1节所述，基本上可选择： 结构网格； 非结构网格。 图11.1和11.2给出民用飞机结构网格的示例 $ [1, 2] $；作为对比，图11.3和11.4展示类似构型的非结构表面网格与体网格 $ [3-6] $。 图11.1 翼身组合构型的结构表面网格与体网格。（图片由德国 DLR 的 O. Brodersen 提供。） 图11.2 翼身组合构型的结构表面网格与体网格：吊架和发...