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4.2 一般离散方法 本章引言已提到控制体定义与流动变量布置的三种方法。本节将逐一详细介绍，并讨论其优缺点。 4.2.1 单元中心格式 当控制体与网格单元相同、流动变量定义在单元形心（如图 4.3 所示）时，称为单元中心格式。计算离散流动方程（4.2）时，必须提供单元各面上的对流和黏性通量 [7]。 图 4.3 单元中心格式的控制体（二维）。 这些通量可用以下三种方式之一近似： 使用同一个面矢量，分别根据单元面左右两侧网格单元形心的变量计算通量，再对通量取平均（一般仅用于对流通量）； 对单元面左右两侧...

4.3 对流通量的离散 前面各节讨论了空间离散的一般方法。本节将详细介绍如何近似对流通量。 如第 3.1.5 节所述，在有限体积方法中，基本可以选择： 中心格式； 通量矢量分裂格式； 通量差分分裂格式； 总变差减小（TVD）格式； 波动分裂格式。 为控制篇幅，本章仅介绍最重要且应用最广的方法，不详细描述基本格式的全部可能修改，而是给出相应参考文献。 在详细介绍各种离散格式之前，先说明左状态、右状态以及模板（也称计算分子）的含义。 某些单元中心与对偶控制体格式要求将流动变量插值到控制体面。图 ...

4.4 黏性通量的离散 为获得相容的空间离散，黏性通量通常使用与对流通量相同的控制体。唯一例外是采用重叠控制体的单元顶点格式（第 4.2.2 节）；主要出于稳定性考虑 $ [97–99] $，黏性通量改用对偶控制体（第 4.2.3 节）。离散控制方程（4.2）的黏性通量 $ \vec{F}_{v} $，与式（4.17）、（4.22）、（4.37）、（4.42）类似，由控制体面上的平均变量计算，这符合黏性通量的椭圆型性质。因此，计算黏性项（2.23）、（2.24）及应力（2.15）所需的速度分量 $ (u, v,w)...

参考文献 [1] Hirsch C. Numerical computation of internal and external flows, vols. 1 and 2. Chichester, UK: John Wiley and Sons; 1988. 题名中译：内流与外流的数值计算（第 1、2 卷）。 [2] Mohanraj R, Neumeier Y, Zinn BT. Characteristic-based treatment of source terms in Euler equations ...

第 5 章 非结构有限体积格式 如第 3 章引言所述，绝大多数求解 Euler 方程和 Navier–Stokes 方程的数值格式采用线方法，即分别进行空间离散和时间离散。其主要优点是可以为空间导数与时间导数选择不同精度的数值近似。因此，与采用时空耦合离散的 Lax–Wendroff 类方法相比，这种方法具有明显更大的灵活性。后者包括显式 MacCormack 预估—校正格式、隐式 Lerat 格式等，详细介绍可参见文献 $ ^{[1]} $。由于线方法应用广泛，本章也采用这一方法。 本章讨论的有限体积格式以守恒定...

5.2 一般离散方法 本章开头已提到，定义控制体及确定流动变量位置的两种最常用方法，是单元中心格式和中位对偶格式。本节将更详细地介绍它们。 不过，首先简要讨论非结构网格流动求解器所需的基本数据结构。事实上，既灵活又能节省内存和运算次数的数据结构，是任何非结构格式的关键。可以说，网格本身缺少的结构，必须在流动求解器内部补足。至少需要以下数据： 网格节点（顶点）的坐标； 从单元指向网格节点的指针； 从边界上的单元面指向网格节点的指针。 离散格式需要的其他数据结构，可由这些信息生成。为说明上述数据的一种存...

5.3 对流通量的离散 前几节讨论了空间离散方法的一般问题及所需数据结构。下文进一步介绍对流通量计算的具体实现。 如 3.1.5 节所述，在有限体积方法框架内，主要可选择以下格式： 中心格式； 通量矢量分裂格式； 通量差分分裂格式； 总变差递减（TVD）格式； 波动分裂格式。 首先较详细地介绍非结构网格上的中心离散，因为它与结构网格上的中心离散有明显不同。迎风格式的基本原理在结构网格与非结构网格上则相同，具体见 4.3.2–4.3.4 节。不过，非结构网格新增的内容是解的重构，它用于获得控制...

5.4 黏性通量的离散 计算式（5.2）的扩散通量 $ \bar{F}_{ v} $，需要知道控制体面上的流动量及其一阶导数。为方便，黏性通量采用与对流通量相同的控制体，以获得相容的空间离散并简化数据结构。 图 5.17 Venkatakrishnan 限制器中的常数 K 对圆弧无黏绕流收敛过程的影响。图内 Iterations：迭代次数；L₂-norm of continuity residual：连续方程残差的 L₂ 范数；Unlimited：不采用限制器。 由于黏性通量具有椭圆性质，计算黏性项（2.23...

参考文献 [1] Hirsch C. Numerical computation of internal and external flows, vols. 1 and 2. Chichester, UK: John Wiley and Sons; 1988. 题名中译：内流与外流的数值计算，第 1、2 卷。 [2] Frink NT. Recent progress toward a three-dimensional Navier-Stokes solver. AIAA Paper 94-0061; 1994....

第 6 章 时间离散 采用线方法，即对控制方程（2.19）分别进行空间离散和时间离散，并为每个控制体写出方程，得到以下关于时间的耦合常微分方程组： $$ \frac{\mathrm{d}\left(\Omega\bar{M}\vec{W}\right)_{I}}{\mathrm{d}t}=-\vec{R}_{I}.\tag{6.1} $$ 式（6.1）中，$ \Omega $ 为体积，$ \vec{R} $ 为残差，$ \bar{M} $ 为质量矩阵，下标 I 表示相应控制体。必须对方程组（6.1）进行时间积分，...

6.2 隐式时间推进格式 在式（6.2）中取 $ \beta\neq0 $，可得到各种隐式时间积分格式。对定常流动问题，取 $ \omega=0 $ 的隐式格式最适合；非定常流动见 6.3 节。于是，式（6.2）简化为： $$ \frac{(\Omega\bar{M})_{I}}{\Delta t_{I}}\Delta\vec{W}_{I}^{n}=-\beta\vec{R}_{I}^{n+1}-\left(1-\beta\right)\vec{R}_{I}^{n}.\tag{6.26} $$ 可见，隐式形式产生...

6.3 非定常流动的求解方法 非定常流动模拟如今在许多工程领域十分重要，例如叶轮机械静止与旋转部件的相互作用、活塞发动机、流固耦合、直升机空气动力学、气动声学、湍流的 DNS 或 LES、爆轰等。显然，模拟既要高效，精度也要满足问题需求。 对某些非定常应用，当时间尺度与空间尺度除以特征值相当，即物理过程要求的 CFL 数为 1 的量级时，显式格式是最佳选择，例如气动声学、DNS、LES。显式 Runge–Kutta 格式在这类应用中十分常用。由于整体物理现象演化远慢于局部解的变化，需要在很长的物理时间区间积分。为准...

参考文献 [1] Jameson A, Schmidt W, Turkel E. Numerical solutions of the Euler equations by finite volume methods using Runge-Kutta time-stepping schemes. AIAA Paper 81-1259; 1981. 题名中译：采用 Runge–Kutta 时间推进格式的有限体积方法求解 Euler 方程。 [2] Van Leer B, Tai C-H, Powell KG. de...

第 7 章 湍流建模 湍流与层流相比，最突出的特征是流体分子沿复杂而不规则的路径作混沌运动。强烈的混沌运动使流体各层之间发生剧烈混合。由于分子之间以及分子与固体壁面之间的动量和能量交换增强，在相同条件下，湍流的壁面摩擦和传热均高于层流。 尽管流动变量的混沌脉动具有确定性，湍流模拟仍然是一个重大难题。即使利用现代超级计算机，直接求解非定常 Navier–Stokes 方程（2.19）来模拟湍流，即直接数值模拟（DNS）$ [1-16] $，也只能用于雷诺数（Re）约为 $ 10^{4}-10^{5} $、几何和流动较...

7.2 一阶封闭模型 一阶封闭模型是近似计算 Reynolds／Favre 平均 Navier–Stokes 方程中 Reynolds 应力的最简便方法。它们基于 7.1.5、7.1.6 节分别讨论的 Boussinesq 模型或非线性涡黏性模型。因此，相应湍流模型的任务是计算涡黏度 $ \mu_{T} $。 在众多一阶封闭模型中，我们选取三种应用广泛、代表当前发展水平的方法。这三种模型均易于在结构网格和非结构网格上实现。首先讨论 Spalart 和 Allmaras 的单方程模型，然后介绍著名的 $ K-\var...

7.3 大涡模拟 Smagorinsky 早在 1963 年就在气象学（大气环流）中采用了所谓的 LES 方法 $ [98] $。Deardorff 于 1970 年给出了 LES 的首个工程应用，即湍流槽道流 $ [99] $。随后 Schumann 对该方法作了扩展和改进 $ [100] $。20 世纪 80 年代，湍流模拟的研究重点从 LES 转向 DNS，但仍开展了一些重要的 LES 研究，例如 Bardina 等人 $ [101] $ 以及 Moin 和 Kim $ [102] $ 的工作。20 世纪 9...

参考文献 [1] Liu C, Liu Z. Multigrid methods and high order finite difference for flow in transition. AIAA Paper 93-3354; 1993. 题名中译：转捩流动的多重网格方法与高阶有限差分。 [2] Olejniczak DJ, Weirs VG, Liu J, Candler GV. Hybrid finite-difference methods for DNS of compressible turbul...

第 8 章 边界条件 任何数值模拟都只能考虑真实物理区域或系统的一部分。区域截断会引入人工边界，必须在这些边界上指定某些物理量的值。此外，与流体接触的壁面构成物理区域的自然边界。边界条件的数值处理必须格外谨慎，不恰当的实现会使模拟无法准确反映真实系统，还可能损害求解格式的稳定性和收敛速度。 数值求解 Euler 方程和 Navier–Stokes 方程时，通常遇到以下类型的边界条件： 固体壁面； 外部流动的远场； 内部流动的入口和出口； 喷注边界； 对称边界； 坐标切口和周期边界； 网格...

8.2 固体壁面 8.2.1 无黏流动 在无黏流动中，流体沿表面滑动。由于没有摩擦力，速度矢量必须与表面相切，等价于表面法向没有流动，即 $$ \vec{ v}\cdot\vec{n}=0\qquad\text{在表面上},\tag{8.1} $$ 其中，$ \vec{n} $ 表示表面的单位法向量。因此，壁面处的逆变速度 V（式（2.22））为零，对流通量矢量（式（2.21））仅剩压力项，即 $$ (\vec{F}_{c})_{\mathrm{w}}=\begin{bmatrix}0\\ n_{x}p_{\ma...

8.3 远场 对翼型、机翼、汽车及其他构型周围的外部流动进行数值模拟，必须采用有限区域，因此需要人工远场边界条件。远场边界条件的数值实现必须满足两个基本要求：首先，与无限区域相比，截断区域不应对流动解产生明显影响；其次，任何向外传播的扰动均不得反射回流场 $ [9] $。亚声速和跨声速问题具有椭圆型特性，对远场边界条件尤其敏感。不恰当的实现会显著减慢向定常解的收敛，并可能降低解的精度。人们已发展出多种能在人工边界吸收外传波动的方法 $ [10-15] $。不同无反射边界条件的综述见文献 $ [16] $。 下面两节...