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12.3 二维结构网格生成器 grid_struct_2d 目录包含三个生成二维外流与内流结构网格的程序。第一个的源代码位于 cgrid 子目录，用于生成翼型周围 C 型网格，见11.1.1节及图11.6。初始网格用式（11.5）的线性 TFI 代数方法生成，再利用椭圆型偏微分方程（11.1.3节），生成具有指定壁面间距的边界正交网格。翼型轮廓用 Bézier 样条近似；相关入门介绍见文献 [1,2]。 第二个程序生成带圆弧凸起的二维通道内部代数网格，网格点在凸起的前端和后端附近加密。源代码位于 channel 子...

12.4 结构网格转非结构网格程序 grid_unstr_2d 目录中的程序，将二维结构网格转换为非结构三角形网格。它连接距离较短的一对对角节点，将结构网格的每个四边形单元划分为两个三角形。所得网格可作为12.7节非结构流动求解器的输入。

12.5 准一维 Euler 求解器 structured_1d 目录包含求解准一维 Euler 方程的程序，描述喷管或管道中的无黏流动。方程的守恒微分形式为 $ [3] $ $$ \frac{\partial\vec{W}}{\partial t}+\frac{\partial\vec{F_{c}}}{\partial x}=\vec{Q}.\tag{12.3} $$ 守恒变量、对流通量及源项的矢量分别为 $$ \vec{W}=\begin{bmatrix}\rho A\\ \rho u A\\ \rho E ...

12.6 二维结构 Euler／Navier–Stokes 求解器 structured_2d 目录包含在结构贴体网格上求解二维 Euler 方程和 Navier–Stokes 方程的程序。空间离散基于4.2.1节的单元中心有限体积方法，采用4.3.1节的带标量人工耗散中心格式，以及4.3.3节的 Roe 迎风格式。控制方程用显式多级格式积分，见6.1.1或6.1.2节，并通过局部时间推进（9.1节）及中心隐式残差光顺（9.3.1节）加速。速度分量与温度梯度采用4.4.1节的对偶控制体方法计算。 图12.2 密...

12.7 二维非结构 Euler／Navier–Stokes 求解器 unstructured_2d 和 C++/unstructured_2d 目录包含在非结构三角形网格上求解二维 Euler 方程与 Navier–Stokes 方程的程序。空间离散采用5.2.2节的中位对偶单元顶点格式。对流通量、黏性通量及梯度的计算采用基于边的数据结构。程序还可模拟极低马赫数的不可压缩流动，见9.5节。 流动求解器的源代码位于 src 子目录；输入文件、网格与结果位于 run 子目录；doc 子目录包含文件、模块、函数和变量的...

12.8 并行化 Parallelization 目录包含采用异步代理库、CUDA、MPI 和 OpenMP 实现的并行程序示例，见9.6节。待并行化的程序求解二维 Laplace 方程， $$ \phi_{x x}+\phi_{yy}=0\tag{12.6} $$ 采用结构矩形网格与 Jacobi 迭代，迭代过程中边界值保持固定。 图12.9 叶栅内部的压力等值线。 示例采用 C（CUDA 和 MPI）及 C++ 编写。MPI 的编译由 Makefile 控制，其余示例提供 Visual Studio 2...

参考文献 [1] Farin GE. Curves and surfaces for computer aided geometric design—a practical guide. 3rd ed. Boston: Academic Press; 1993. 题名中译：计算机辅助几何设计的曲线与曲面：实用指南，第3版。 [2] Hoschek J, Lasser D. Fundamentals of computer aided geometric design. Wellesley, MA: A.K. Pet...

附录 A.1 控制方程的微分形式 假设对流通量与黏性通量连续，则先应用 Gauss 定理，可将控制方程（2.19）由积分形式转为微分形式，得到 $$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{\Omega}\vec{W}\mathrm{d}\Omega+\int_{\Omega}\vec{\nabla}\cdot\left(\overline{{\overline{{F}}}}_{c}-\overline{{\overline{{F}}}}_{ v}\right)\mathrm{d}\Ome...

A.2 Euler 方程的拟线性形式 这种形式有助于理解控制方程的数学性质，也便于发展和分析数值格式。 拟线性形式由控制方程的微分形式（A.4）推导得到。这里仅考虑 Euler 方程，即 $$ \frac{\partial\vec{W}^{*}}{\partial t}+\frac{\partial\vec{F}_{c,1}}{\partial\xi}+\frac{\partial\vec{F}_{c,2}}{\partial\eta}+\frac{\partial\vec{F}_{c,3}}{\partial\z...

A.3 控制方程的数学类型 偏微分方程（PDE）的数学类型，可用经典的二阶拟线性方程说明： $$ a\frac{\partial^{2}U}{\partial x^{2}}+b\frac{\partial^{2}U}{\partial x\partial y}+c\frac{\partial^{2}U}{\partial y^{2}}=d,\tag{A.24} $$ 其中，U 为一般标量函数。系数 a、b、c、d 可以是坐标、U 及 U 的一阶导数的非线性函数，但不能依赖 U 的二阶导数。按判别式 $ (b^{2...

A.4 旋转参考系中的 Navier–Stokes 方程 在某些情况下，例如叶轮机械、螺旋桨或地球物理应用中，计算域绕某条轴匀速旋转。此时，将 Navier–Stokes 方程变换到旋转参考系更方便。考虑图A.6：点 P 以恒定角速度 $ \vec{\omega} $ 绕固定轴旋转。为简单起见，假设旋转轴与 x 轴重合，因此角速度分量为 $ \vec{\omega} = [\omega_{1}, 0, 0]^{T} $。绝对速度 $ \vec{ v}_{a} $ 为相对速度 $ \vec{ v}_{r} $ 与牵连...

A.5 动网格上的 Navier–Stokes 方程 在研究流固耦合或模拟外挂物分离等问题时，必须在移动、甚至变形的网格上求解控制方程。最常用的两种方法，是任意 Lagrange–Euler（ALE）形式 $ [4–6] $ 与动态网格 $ [7] $。两者密切相关，得到相同的修正控制方程形式，用于计及网格相对流体的运动。 对于具有面元 dS 的移动或变形控制体 $ \Omega $，Navier–Stokes 方程（2.19）的时变积分形式为 $$ \frac{\partial}{\partial t}\int_...

A.6 薄剪切层近似 高 Reynolds 数流动中，黏性应力仅在物体周围的狭窄区域影响流动。因此，可合理假设壁面法向梯度占主导，忽略其他方向的梯度 $ [21, 22] $。这就是 Navier–Stokes 方程的薄剪切层（TSL）近似。 以一般曲线网格上的 Navier–Stokes 微分方程（A.4）说明。假设如图2.4所示，壁面位于 $ \eta = const. $，则从扩散项中去掉全部沿流向 $ (\partial/\partial\xi) $ 与横流方向 $ (\partial/\partial\z...

A.7 PNS 方程 当满足以下三个条件时： 流动为定常，即 $\partial\vec W/\partial t=0$； 流体主要沿一个方向运动，且不得发生边界层分离； 横流分量可忽略； Navier–Stokes 方程（2.19）可简化为抛物化 Navier–Stokes（PNS）方程 [23]。此时，可在黏性应力项中去掉速度分量与温度对流向的导数。此外，在式（2.23）的黏性通量矢量中，可忽略黏性应力张量 $ \overline{\overline{\tau}} $ 及其功 $ (\overl...

A.8 Navier–Stokes 方程的轴对称形式 模拟圆柱形物体绕流或圆柱形腔内流动时，通常可假设流动关于纵轴对称。这意味着没有旋流，且流动量沿周向的导数为零。在这些条件下，可从 Navier–Stokes 方程（2.19）中去掉一个动量方程，控制方程因此由三维降为二维，大幅降低计算量。 Navier–Stokes 方程的轴对称形式为 $$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{\Omega}\vec{W}\mathrm{d}\Omega+\oint_{\partial\Omega}...

A.9 对流通量 Jacobian 矩阵 对流通量 Jacobian 表示对流通量对守恒变量的梯度，即 $$ \bar{A}_{c}=\frac{\partial\vec{F}_{c}}{\partial\vec{W}},\tag{A.65} $$ 其中，$ \vec{F}_{c} $ 由式（2.21）给出。 二维形式 二维对流通量 Jacobian 矩阵为 $ [24] $： $$ \bar{A}_{c}=\begin{bmatrix}{{{-V_{t}}}}&{{{n_{x}}}}&{{{n_y}}}&{{{...

A.10 黏性通量 Jacobian 矩阵 黏性通量 Jacobian 表示黏性通量对守恒变量的梯度，即 $$ \bar{A}_{ v}=\frac{\partial\vec{F}_{\mathrm{v}}}{\partial\vec{W}},\tag{A.70} $$ 其中，$ \vec{F}_{ v} $ 由式（2.23）给出。为简化讨论，仅考虑 Navier–Stokes 方程的薄剪切层近似，参见2.4.3和A.6节。此外，假设动力黏度与热导率对守恒变量变化及空间变化均作冻结处理。 二维形式 采用薄剪切层近...

A.11 从守恒变量到特征变量的变换 对流通量 Jacobian（A.9节）具有实特征值和完整的特征向量组，因此可对角化为 $ [25] $ $$ \bar{A}_{c}=\bar{T}\bar{\Lambda}_{c}\bar{T}^{-1},\tag{A.80} $$ 其中，$ \bar{T}^{-1} $ 为左特征向量矩阵，$ \bar{T} $ 为右特征向量矩阵，$ \bar{\Lambda}_{c} $ 为特征值对角矩阵。从守恒变量（$ \vec{W} $）到特征变量（$ \vec{C} $）的变换，对...

A.12 GMRES 算法 考虑线性方程组 $$ \bar{A}\vec{x}=\vec{b}.\tag{A.90} $$ 寻求以下形式的近似解： $$ \vec{x}=\vec{x}_{0}+\vec{z},\tag{A.91} $$ 其中，$ \vec{x}_{0} $ 为初始估计，$ \vec{z} $ 属于 Krylov 子空间 $$ \vec{z}\in\mathcal{K}_{m},\quad\mathcal{K}_{m}\equiv\operatorname{span}\left\{\vec{r}...

A.13 张量记号 坐标 $ (x_{i}) $ 或速度分量 $ ( v_{i}) $ 这样的表达式表示一阶张量，具有三个分量，对应矢量。因此， $$ \begin{aligned}x_{i}&=[x_{1},x_{2},x_{3}]=[x,y,z]=\vec{r},\\ v_{i}&=[ v_{1}, v_{2}, v_{3}]=[u, v,w]=\vec{ v}.\end{aligned}\tag{A.109} $$ 二阶张量包含九个分量，可写成 $ 3 \times 3 $ 矩阵，例如 $$ v_{i} v...