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1 引言 2 控制方程 2.1 笛卡尔坐标系下的三维控制方程 2.1.1 浅水方程 2.1.2 盐度和温度输运方程 2.1.3 标量输运方程 2.1.4 湍流模型 2.1.5 笛卡尔及Sigma坐标系下的控制方程 2.2 球坐标与$\sigma$坐标下的三维控制方程 2.3 笛卡尔坐标下的二维控制方程 2.3.1 浅水方程 2.3.2 盐度和温度输运方程 ...
1.1 引言
本文档旨在介绍由 DHI Water & Environment 开发的新型 MIKE 21 & MIKE 3 Flow Model FM 建模系统的科学背景。进而为用户详细描述水流与输运模型方程、数值离散及求解方法。此外，文档还讨论了模型验证相关内容。 MIKE 21 & MIKE 3 Flow Model FM 基于柔性网格（Flexible Mesh）方法，为海洋、海岸及河口环境的应用而开发，也可应用于地表漫流。 模型基于二维/三维不可压缩雷诺平均纳维-斯托克斯（Reynolds averaged Nav...
2.1 笛卡尔坐标系下的三维控制方程
2.1.1 浅水方程 模型基于三维不可压缩雷诺平均 Navier–Stokes 方程的求解，并采用 Boussinesq 假设与静水压力假设。 局部连续方程写为： $$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=S\tag{2.1}$$ 分别对应 $x$ 与 $y$ 分量的两条水平动量方程为： $$\begin{align}\fra...
2.2 球坐标与 σ 坐标下的三维控制方程
在球坐标系中，自变量为经度 $\lambda$ 与纬度 $\phi$。水平速度场 $(u,v)$ 定义为： $$ u=R\cos\phi\frac{d\lambda}{dt}\quad v=R\frac{d\phi}{dt}\tag{2.54} $$ 其中：$R$ 为地球半径。 在该坐标系下，控制方程可写为（为书写简便，下文省略表示新坐标系的水平坐标上标）： $$ \frac{\partial h}{\partial t}+\frac{1}{R\cos\phi}\Bigg(\fr...
2.3 笛卡尔坐标下的二维控制方程
2.3.1 浅水方程 对水平动量方程与连续方程在水深 $h=\eta+d$ 上做垂向积分，可得到二维浅水方程： $$ \frac{\partial h}{\partial t}+\frac{\partial (h\overline{u})}{\partial x}+\frac{\partial (h\overline{v})}{\partial y}=hS\tag{2.65} $$ $$ \begin{aligned}\frac{\partial (h\overline{u})}{\partial...
2.4 球坐标下的二维控制方程
在球坐标中，自变量为经度 $\lambda$ 与纬度 $\phi$。水平速度场 $(\overline{u},\overline{v})$ 定义为：$$ \overline{u}=R\cos\phi\frac{d\lambda}{dt}\quad\overline{v}=R\frac{d\phi}{dt}\tag{2.73} $$其中：$R$ 为地球半径。 球坐标下的二维控制方程可写为：$$ \frac{\partial h}{\partial t}+\frac{1}{R\cos\phi}...
2.5 底部应力（Bottom Stress）
底部应力 $\vec{\tau}_{b}=(\tau_{bx},\tau_{by})$ 由二次摩擦定律确定： $$ \frac{\vec{\tau}_{b}}{\rho_{0}}=c_{f}\vec{u}_{b}\big|\vec{u}_{b}\big|\tag{2.80} $$ 其中：$c_f$ 为阻力系数，$\vec{u}_b=(u_b,v_b)$ 为底部上方的流速。与底部应力对应的摩擦速度为： $$ U_{\tau b}=\sqrt{c_{f}\left|\vec{u}_{b}\right|...
2.6 风应力（Wind Stress）
在无冰覆盖区域，表面应力 $\vec{\tau}_{s}=(\tau_{sx},\tau_{sy})$ 由水面上方风场决定，经验关系为： $$ \vec{\tau}_{s}=\rho_{a}c_{d}\left|\vec{u}_{w}\right|\vec{u}_{w}\tag{2.88} $$ 其中：$\rho_a$ 为空气密度，$c_d$ 为空气阻力系数，$\vec{u}_w=(u_w,v_w)$ 为海面以上 10 m 处风速。与表面应力对应的摩擦速度为： $$ U_{\tau s}=\sqr...
2.7 冰盖（Ice Coverage）
可考虑冰盖对流场的影响。 在海面被冰覆盖的区域，风应力被排除，表面应力改由冰面粗糙度引起。表面应力 $\vec{\tau}_{s}=(\tau_{sx},\tau_{sy})$ 由二次摩擦定律确定： $$ \frac{\vec{\tau}_{s}}{\rho_{0}}=c_{f}\vec{u}_{s}\left|\vec{u}_{s}\right|\tag{2.91} $$ 其中：$c_f$ 为阻力系数，$\vec{u}_s=(u_s,v_s)$ 为表层下方的流速。对应的摩擦速度为...
2.8 潮汐势（Tidal Potential）
潮汐势是由地球、月球与太阳相对运动引起的重力变化所产生的体力，作用于整个计算域。该强迫在频率空间展开，可表示为多个潮汐分潮的叠加。模型以“平衡潮”（equilibrium tide）的形式实现，可理解为若地球表面完全被水覆盖时理论上会出现的水位起伏。该强迫以附加项（平衡潮水位梯度）进入动量方程，使得水位 $\eta$ 可视为实际水位与平衡潮势的叠加： $$ \eta=\eta_{ACTUAL}+\eta_{T}\tag{2.97} $$ 平衡潮势 $\eta_T$ 表达为： $$ \e...
2.9 波浪辐射应力（Wave Radiation）
可在模拟中考虑短周期波破碎产生的二阶应力。辐射应力作为平均流的驱动力，可用于计算波生流。对三维模拟采用简化处理：辐射应力在垂向上取均匀分布（uniform variation）。
2.10 热交换（Heat Exchange）
与大气的热交换基于以下四个物理过程计算： • 潜热通量（蒸发导致的热损失） • 显热通量（对流导致的热通量） • 净短波辐射 • 净长波辐射 潜热、显热与长波辐射假定发生在水面；短波辐射的吸收剖面用 Beer 定律近似。光强衰减用修正 Beer 定律表示： $$ I(d)=\left(1-\beta\right)I_{0}e^{-\lambda d}\tag{2.100} $$ 其中：$I(d)$ 为距水面深度...
3.1 空间离散
求解域内的离散采用有限体积法（finite volume method）。空间域通过将连续体划分为互不重叠的单元/网格单元（cells/elements）来离散。 在二维情况下，单元可以为任意形状多边形，但本文仅考虑三角形与四边形单元。 在三维情况下采用分层网格（layered mesh）：水平面使用非结构网格（unstructured mesh），垂向使用结构网格（structured mesh）（见图 3.1）。垂向网格可基于 $\sigma$ 坐标，或采用 $\...
3.2 时间积分（Time Integration）
考虑一般形式的方程： $$ \frac{\partial\boldsymbol{U}}{\partial t}=\boldsymbol{G}\big(\boldsymbol{U}\big)\tag{3.18} $$ 对二维模拟，浅水方程与输运方程均可采用两种时间积分：低阶方法与高阶方法。低阶方法为一阶显式 Euler： $$ \boldsymbol{U}_{n+1}=\boldsymbol{U}_{n}+\Delta t\,\boldsymbol{G}\big(\boldsymbol{...
3.3 边界条件（Boundary Conditions）
3.3.1 封闭边界（Closed boundaries） 沿封闭边界（陆地边界），所有变量的法向通量强制为零。对动量方程而言，这对应陆地边界全滑移（full-slip）。对浅水方程，也可采用无滑移条件（no-slip），即法向与切向速度分量均为零。 3.3.2 开放边界（Open boundaries） 对浅水方程可施加多种开放边界条件。 通量边界、速度边界与 Flather 边界均采用弱形式（weak approach）施加：使用虚单元（ghost cell）技术...
4.1 净入渗率（Net Infiltration Rates）
图 4.1 入渗过程示意图 净入渗率由用户直接给定，并在全域内对每个单元作为一个简单的汇项（sink）起作用。 在每个水动力时间步内，当二维水平流动方程求解完成后，求解一维垂向连续方程。对每个水平单元，其自由水面区（free surface zone）的新水深按下式更新： $$ H(j)=H(j)-\frac{V_{infiltration}(j)}{A(j)} \tag{4.1} $$ 其中 $V_{infiltration}(j)$ 为单元 $(j)$ 的入渗体积，$A(...
4.2 带容量限制的恒定入渗（Constant Infiltration with Capacity）
带容量的常量入渗通过一个简化模型描述从自由水面区到非饱和带、以及从非饱和带到饱和带的水量交换。模型假设如下： - 非饱和带被建模为一个入渗带（infiltration zone），在该带全厚度范围内孔隙率（porosity）为常数。 - 自由水面区与入渗带之间的交换按常量流量计算，即 $V_{infiltration}=Q_{i}\cdot\Delta t$，其中 $Q_{i}$ 为给定入渗流量（rate/flow rate）。 - 饱和带与非饱和带之间的交换按常量渗漏流量 $Q_{l...
5.1 近场计算（Nearfield Calculations）
近场解基于 Jirka (2004) 所述的积分喷流模型方程，通过在给定环境条件下求解体积通量与动量通量、盐度与温度（若包含）等守恒方程，确定喷流/羽流的稳态解。 假设速度剖面以及状态参数与标量质量的分布满足高斯（Gaussian）形式。喷流模型采用夹带（entrainment）闭合方法，将横向剪切与方位向剪切（azimuthal shear）机制对夹带的贡献区分开来；并包含一个二次定律的湍流阻力机制（$F_{D}$），该机制由近期关于横向喷流入横向来流（transverse jets...
5.2 近场区域末端（End of Nearfield region）
一般而言，当喷流相对于环境流的驱动特征（动量与浮力）衰减后，即到达近场区末端，其体积与标量质量可转移至远场区并由环境流扩散输运。该情况可在不同情形下发生： - 横向来流中的喷流（Jet in cross-flow）：喷流动量 $M$ 由扩散器初始动量、浮力以及环境流诱导（同向或反向）的动量 $M_{a}$ 共同决定。当超额动量变小并接近环境动量时，可视为近场结束，并按条件 $M-M_{a}<\varepsilon$ 在对应空间位置释放到远场模型。其中 $\varepsilon$ 为用户定义/标定参...
5.3 近场—远场耦合（Nearfield-Farfield model coupling）
近场与远场耦合包括两部分：读取环境条件作为近场喷流模型输入，以及在近场结束时将喷流排放释放到远场水动力模型。 环境流条件可取喷流位置处的局地条件，或取上游环境条件（upstream ambient）。上游选项可用于避免在释放物质受环境平流主导时，喷流解与环境流之间产生不真实反馈。对上游环境条件，在上游流向距离喷流位置一定距离处取值，该距离为：由网格确定的特征长度与用户指定最小上游距离二者的较大值。此处特征长度定义为初始释放点处局地单元面积平方根的 2.3 倍。 在近场...