2.1 笛卡尔坐标系下的三维控制方程

$$
\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial t}
+\frac{\partial u^{2}}{\partial x}
+\frac{\partial (vu)}{\partial y}
+\frac{\partial (wu)}{\partial z}
&= fv-g\frac{\partial \eta}{\partial x}
-\frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p_{a}}{\partial x}
-\frac{g}{\rho_{0}}\int_{z}^{\eta}\frac{\partial \rho}{\partial x}\,dz \notag\\
&\quad -\frac{1}{\rho_{0}h}\left(\frac{\partial s_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial s_{xy}}{\partial y}\right)
+F_{u}\\
&\quad+\frac{\partial}{\partial z}\!\left(\nu_{t}\frac{\partial u}{\partial z}\right)
+u_{s}S
\tag{2.2}
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
\frac{\partial v}{\partial t}
+\frac{\partial v^{2}}{\partial y}
+\frac{\partial (uv)}{\partial x}
+\frac{\partial (wv)}{\partial z}
&= -fu-g\frac{\partial \eta}{\partial y}
-\frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p_{a}}{\partial y}
-\frac{g}{\rho_{0}}\int_{z}^{\eta}\frac{\partial \rho}{\partial y}\,dz \notag\\
&\quad-\frac{1}{\rho_{0}h}\left(\frac{\partial s_{yx}}{\partial x}+\frac{\partial s_{yy}}{\partial y}\right)
+F_{v}\\
&\quad+\frac{\partial}{\partial z}\!\left(\nu_{t}\frac{\partial v}{\partial z}\right)
+v_{s}S
\tag{2.3}
\end{align}
$$

其中：

      温度 $T$ 与盐度 $s$ 的输运遵循一般的对流–扩散方程：

$$
\frac{\partial T}{\partial t}
+\frac{\partial (uT)}{\partial x}
+\frac{\partial (vT)}{\partial y}
+\frac{\partial (wT)}{\partial z}
=F_T+\frac{\partial}{\partial z}\!\left(D_v\frac{\partial T}{\partial z}\right)+\hat{H}+T_s S
\tag{2.11}
$$

$$
\frac{\partial s}{\partial t}
+\frac{\partial (us)}{\partial x}
+\frac{\partial (vs)}{\partial y}
+\frac{\partial (ws)}{\partial z}
=F_s+\frac{\partial}{\partial z}\!\left(D_v\frac{\partial s}{\partial z}\right)+s_s S
\tag{2.12}
$$

其中：

$D_v$ 为垂向湍动（涡）扩散系数；$\hat{H}$ 为由大气–水体热交换引起的源项；$T_s$ 与 $s_s$ 分别为源项（点源）对应的温度与盐度；$F_T$ 与 $F_s$ 为水平扩散项，定义为：

$$
\left(F_T,F_s\right)
=
\left[
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(D_h\frac{\partial}{\partial x}\right)
+\frac{\partial}{\partial y}\!\left(D_h\frac{\partial}{\partial y}\right)
\right](T,s)
\tag{2.13}
$$
其中：

$D_h$ 为水平扩散系数。扩散系数可与涡黏系数建立联系：

$$
D_h=\frac{A}{\sigma_T},\qquad
D_v=\frac{\nu_t}{\sigma_T}
\tag{2.14}
$$

其中：

$\sigma_T$ 为普朗特数（Prandtl number）。在许多应用中可取常数普朗特数（见 Rodi，1984）。

      温度的自由表面与底边界条件为：

      在 $z=\eta$ 处：

$$
D_v\frac{\partial T}{\partial z}
=\frac{Q_n}{\rho_0 c_p}+T_p\hat{P}-T_e\hat{E}
\tag{2.15}
$$

      在 $z=-d$ 处：

$$
\frac{\partial T}{\partial z}=0
\tag{2.16}
$$

其中：

$Q_n$ 为表面净热通量；$c_p=4217\,\mathrm{J/(kg\cdot K)}$ 为水的比热容；$T_p$ 与 $T_e$ 分别为降水与蒸发对应的温度。

      盐度的自由表面与底边界条件为：

      在 $z=\eta$ 处：

$$
\frac{\partial s}{\partial z}=0
\tag{2.17}
$$

      在 $z=-d$ 处：

$$
\frac{\partial s}{\partial z}=0
\tag{2.18}
$$

      当考虑大气热交换时，蒸发率定义为：

$$
\hat{E}=
\begin{cases}
\dfrac{q_v}{\rho_0 l_v}, & q_v>0,\\[6pt]
0, & q_v\le 0,
\end{cases}
\tag{2.19}
$$

其中：

$q_v$ 为潜热通量（latent heat flux），$l_v=2.5\times 10^6$ 为水的汽化潜热。

      标量守恒方程可写为：

$$

\frac{\partial C}{\partial t}

+\frac{\partial (uC)}{\partial x}

+\frac{\partial (vC)}{\partial y}

+\frac{\partial (wC)}{\partial z}

=F_C+\frac{\partial}{\partial z}\!\left(D_v\frac{\partial C}{\partial z}\right)-k_p C+C_s S

\tag{2.20}

$$

其中：

$C$ 为标量浓度；$k_p$ 为标量的一阶线性衰减系数；$C_s$ 为源项（点源）处的标量浓度；$D_v$ 为垂向扩散系数。$F_C$ 为水平扩散项，定义为：

$$

F_C=

\left[

\frac{\partial}{\partial x}\!\left(D_h\frac{\partial}{\partial x}\right)

+\frac{\partial}{\partial y}\!\left(D_h\frac{\partial}{\partial y}\right)

\right]C

\tag{2.21}

$$

其中：

$D_h$ 为水平扩散系数。