引言

在上一章中，我们得到了Navier-Stokes/Euler方程的完整系统。我们为完美气体引入了额外的热力学关系，并为化学反应气体定义了附加的输运方程。因此，现在我们已经准备好求解整套控制方程，以获得流场变量。你可以想象，求解方法的数量极其庞大。若把仅适用于简化流动问题的解析方法放在一边，几乎所有求解策略都遵循同一条路径。

首先，将需要计算的空间（物理空间）划分为大量几何单元，称为网格单元（grid cells）。这一过程称为网格生成（grid generation）（有些作者使用mesh一词，含义相同）。也可以将其视为：先在物理空间布置网格点（也称节点nodes或顶点vertexes），再用直线将它们连接起来——网格线。二维（2-D）网格通常由三角形和/或四边形组成；三维（3D）网格通常由四面体、六面体、棱柱体或金字塔单元组成。对网格生成工具最重要的要求是：网格单元之间不能有空洞，但也不能重叠。此外，网格应当平滑，即单元体积或拉伸比不应出现突变，单元应尽可能规则。进一步地，若网格由四边形或六面体组成，网格线不应出现很大的折 kink，否则数值误差会显著增加。

一方面，网格可以生成得紧贴物理空间边界，此时称为贴体网格（body-fitted grid）（图3.1a）。这种方法的主要优点是：在边界附近（例如固体表面上的剪切层）可以非常精确地分辨流动；其代价是网格生成工具的复杂度很高，尤其是在“真实工程”几何的情况下。另一方面，所谓笛卡尔网格（Cartesian grids）$[1-8]$ 的单元边与笛卡尔坐标轴平行，生成非常容易。它们的优点是：式(2.19)中的通量评估要比贴体网格简单得多。但从图3.1b或c可见，对边界的通用且精确的处理很难实现$[3]$。因此，贴体网格或组合方法（见11.2.4节）通常更受青睐，尤其是在工业环境中，因为被模拟构型的几何复杂度往往很高。

如今，绝大多数用于求解Euler与Navier-Stokes方程的数值方法采用空间与时间分离离散——所谓线方法（method of lines）$[9]$。在该框架下，取决于所选算法，网格要么用于构造控制体并评估通量积分，要么用于近似流动量的空间导数。下一步，得到的随时间变化的方程从已知初始解出发，借助合适的方法推进到后续时刻。另一种可能是：当流动变量不随时间变化时，通过迭代过程直接求得控制方程的定常解。

根据我们推导控制方程(2.19)的方式，连续方程(2.3)包含密度的时间导数。由于密度作为独立变量又用于计算压力（式(2.29)），因此动量方程中密度与压力的时间演化相互耦合。基于这一原因，采用对控制方程(2.19)进行离散的求解方法称为基于密度的格式（density-based schemes）。这种表述的问题在于：对于不可压缩流体，连续方程中的密度时间导数消失，压力不再由任何独立变量驱动。另一个困难来自于：随着Mach数降低，声波与对流波速差距增大，使得控制方程变得越来越“刚性”（stiff），从而更难求解$[10]$。为应对该问题，基本发展出三种途径：第一种是求解压力Poisson方程，它可由动量方程推导$[11-17]$，称为基于压力的格式（pressure-based schemes）；第二种称为人工可压缩方法（artificial compressibility method），其思想是在连续方程中用压力的时间导数替代密度的时间导数，从而直接耦合速度场与压力场$[18,19]$；第三种也是最通用的方案，是对控制方程进行预条件化（preconditioning）$[20-31]$，使得同一数值格式可用于很低Mach数以及高Mach数流动。我们将在9.5节更深入地讨论这一方法。

在以下章节中，我们将进一步了解：对控制方程在空间与时间上的数值逼近、湍流建模以及边界处理等不同求解方法的最基本原理。