2.1 流动及其数学描述

      在开始推导描述流体行为的基本方程之前，先澄清“流体力学”这一术语的含义可能会更方便。实际上，它研究的是大量单个粒子的相互作用运动——在这里这些粒子是分子或原子。这意味着我们假定流体密度足够高，从而可以将其近似为连续介质。也就是说，即使一个无穷小（微积分意义下）的流体微元仍包含足够多的粒子，我们可以为其规定平均速度与平均动能。由此，我们就能在流体的每一点定义速度、压力、温度、密度以及其他重要量。

流体力学主方程的推导基于这样一个事实：流体的动力学行为由以下守恒定律所决定，即：

1. 质量守恒。  

2. 动量守恒，  

3. 能量守恒。

      某一流动量的守恒，意味着该量在任意体积内的总变化可以表示为：该量穿过边界输运的净效应、任何内力与源项的作用，以及作用于该体积的外力。穿过边界的该量称为通量（flux）。通量一般可分解为两部分：一部分来自对流输运，另一部分来自流体静止时仍存在的分子运动。第二部分具有扩散性质——它与所考虑量的梯度成正比，因此在分布均匀时将消失。

      对守恒定律的讨论自然引出这样的思想：将流场划分为若干体积，并把注意力集中在某一个有限区域内流体行为的建模上。为此，我们定义所谓的有限控制体，并尝试建立其物理性质的数学描述。

      考虑如图2.1所示、由流线表示的一般流场。流动中任意一个有限区域，由闭合曲面$\partial\Omega$围成并固定在空间中，定义为控制体$\Omega$。同时引入一个面元$\mathrm{d}S$及其对应的、指向外侧的单位法向量$\vec{n}$。将守恒定律应用于单位体积上的某个示例标量量$U$，则$U$在$\Omega$内随时间的变化，即  

$$\frac{\partial}{\partial t}\int_{\Omega}U\mathrm{d}\Omega$$  

等于如下各项贡献之和：首先是对流通量的贡献——量$U$以速度$\vec{\nu}$穿过边界进入控制体的部分，  

$$-\oint_{\partial\Omega}U(\vec{\nu}\cdot\vec{n})\mathrm{d}S,$$  

      其次是扩散通量的贡献——由广义Fick梯度定律给出  

$$\oint_{\partial\Omega}\kappa\rho[\nabla(U/\rho)\cdot\vec{n}]\mathrm{d}S,$$  

其中$\kappa$为热扩散系数；最后是体源与面源$Q_{V}$、$\vec{Q}_{S}$的贡献，即  

$$\int_{\Omega}Q_{V}\mathrm{d}\Omega+\oint_{\partial\Omega}(\vec{\boldsymbol{Q}}_{S}\cdot\vec{\boldsymbol{n}})\mathrm{d}S.$$  

      将上述贡献相加，可得到标量量$U$的守恒定律的一般形式  

$$\frac{\partial}{\partial t}\int_{\Omega}U\mathrm{d}\Omega+\oint_{\partial\Omega}\left[U(\vec{\nu}\cdot\vec{n})-\kappa\rho(\nabla U^{*}\cdot\vec{n})\right]\mathrm{d}S=\int_{\Omega}Q_{V}\mathrm{d}\Omega+\oint_{\partial\Omega}(\vec{Q}_{S}\cdot\vec{n})\mathrm{d}S,\tag{2.1}$$  

其中$U^{*}$表示单位质量上的量$U$，即$U/\rho$。

      需要注意的是：如果守恒量是向量而不是标量，则式(2.1)在形式上仍然成立。但不同之处在于，对流通量与扩散通量将由向量变为张量——$\overline{F}_{C}$为对流通量张量，$\overline{\overline{F}}_{D}$为扩散通量张量。体源将变为向量$\vec{Q}_{V}$，面源则变为张量$\overline{\overline{Q}}_{S}$。因此，对一般向量量$\vec{U}$的守恒定律可写为  

$$\frac{\partial}{\partial t}\int_{\Omega}\vec{U}\mathrm{d}\Omega+\oint_{\partial\Omega}\left[(\overline{\overline{F}}_{\mathrm{C}}-\overline{\overline{F}}_{\mathrm{D}})\cdot\vec{n}\right]\mathrm{d}S=\int_{\Omega}\vec{Q}_{V}\mathrm{d}\Omega+\oint_{\partial\Omega}(\overline{\overline{Q}}_{S}\cdot\vec{n})\mathrm{d}S.\tag{2.2}$$  

由式(2.1)或式(2.2)给出的守恒定律积分形式具有两个非常重要且令人满意的性质：

1. 若不存在体源，则$U$的变化只取决于穿过边界$\partial\Omega$的通量，而不取决于控制体$\Omega$内部的任何通量。  

2. 当流场存在如激波或接触间断等不连续时，这种形式仍然有效$[1]$。

      由于其一般性与上述优良性质，今天大多数CFD代码都基于控制方程的积分形式。

      在下一节中，我们将利用上述积分形式推导流体力学三条守恒定律的相应表达式。